Золотое сечение

  9.7. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ—ЗАКОН ПРОЯВЛЕНИЯ ГАРМОНИИ В ПРИРОДЕ

   Одним из наиболее ярких проявлений  гармонии в природе является  закон пропорциональной связи  целого и составляющих его  частей, получивший название «золотое  сечение». Золотое сечение — это деление целого на две неравные части так, чтобы большая часть относилась к меньшей, как целое к большей части.

   Пифагор был первым, кто обратил  внимание на это особое, «гармоническое»  деление любого отрезка, названное  впоследствии золотым сечением. В 1509 г., т.е. примерно через  две тысячи лет после Пифагора, итальянец Лука Пачоли (1445—1509) опубликовал книгу «О божественной пропорции», рисунки к которой выполнил знаменитый друг Пачоли Леонардо да Винчи, кому и принадлежит сам термин «золотое сечение».

   Классический пример золотого  сечения, дающий представление  о нем, — это деление отрезка  в среднепропорциональном отношении:  

   Приближенные корни этого уравнения  — числа Ф = 1,61803398875 и -Ф^-1 = -0,61803398875, которые не менее замечательны, чем числа л и е. О них после Пифагора писали Платон, Поликлет, Евклид, Витрувий и многие другие. Золотым сечением кроме Леонардо да Винчи интересовались многие художники, скульпторы, архитекторы, многие деятели науки и искусства. Вызвано это тем, что везде, где появляется число Ф, живые формы и произведения искусства приятны для глаз, отличаются явной гармонией и красотой.

   Для построения правильных симметричных  многогранников: куба, октаэдра, тетраэдра,  икосаэдра, додекаэдра нужно использовать  золотую пропорцию, так как  диагонали их образуют пентаграмму.  Золотое сечение связано с  пространственным отношением природных  объектов, человека, архитектурных  сооружений, музыкальной гармонии, в геометрических фигурах, имеющих ось пятого порядка, — их имеют многие цветы, морские звезды, ежи, вирусы.

   У человека золотое сечение  — это отношение его роста  к расстоянию от пупка до  подошв ног: при рождении оно  равно 2, а к 21 годам — 1,625, у женщин — 1,6. Многие женщины  интуитивно пытаются приблизить  это отношение к золотой пропорции,  надевая туфли на каблуках.

   Золотое сечение владело умами  многих ученых и выдающихся  мыслителей прошлого, продолжает  волновать и сейчас — не  ради математических свойств,  а потому, что оно неотделимо  от целостности объектов искусства  и в то же время обнаруживает  себя как признак структурного  единства объектов природы.

9.7.1. Числа Фибоначчи

   В 1202 г. вышла в свет «Книга  абака» (о счетной доске) —  труд итальянского математика  Леонардо Пизанс-кого, известного больше как Фибоначчи. В ней он решал задачу о кроликах: сколько пар кроликов родится от одной пары кроликов, если каждая пара в месяц дает новую пару, которая со второго месяца тоже становится производителем, и кролики не дохнут? Он получил последовательность, названную в дальнейшем числами Фибоначчи. Ряд чисел Фибоначчи строится таким образом, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д. Примеры ритмических вариантов золотого сечения: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 и т.д.; 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254...

   И. Кеплер (1571—1630) обнаружил этот  ряд при построении модели  Солнечной системы. Каждый член  ряда чисел Фибоначчи является  одновременно аддитивным и мультипликативным,  т.е. одновременно причастен к  природе арифметического ряда  и геометрической прогрессии. Связь  аддитивного (сложение) и мультипликативного (умножение) принципов постоянно  находится в центре внимания  исследователей золотого сечения.  Из него видно, что тождество  противоположностей есть сущность  золотого сечения и в этом  его гармонический смысл, его  природа.

  Ботаниками было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55, 34/89 составлена из чисел ряда Фибоначчи (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 89/144 и т.д.) и так же содержит золотое сечение и означает последовательность видов винтовых осей симметрии. Числитель и знаменатель каждой дроби, начиная с третьей, равны соответственно сумме числителей и знаменателей двух предыдущих дробей. Если присмотреться к деревьям, то можно заметить, что между двумя парами листьев третий находится в точке золотого сечения. В системах типа головок подсолнечника можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым. Эти спирали получили название «контактные парастихи». Спирали одного семейства короче и малочисленнее, чем спирали другого семейства. Контактные парастихи также характеризуют, задавая дроби, в числителе которых стоит число данных парастих, а в знаменателе — общее число парастих. У большинства подсолнечников имеется 34 коротких и 55 длинных парастих, идущих в противоположных направлениях. Этой системе парастих соответствует дробь 55/89. Контактным парастихам, встречающимся у растений других видов, можно сопоставить дроби, образующие последовательность типа чисел Фибоначчи: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89 и т.д.

   Если же разделить последующее  число на предыдущее, то мы  снова получим корни золотой  пропорции, например, 144:89 = 1,6179775, и  тем точнее будет этот результат  совпадать с корнями золотой  пропорции, чем дальше отстоят  члены ряда от начала.

   Ученые-экспериментаторы прошлого  века, изучавшие расположение цветов, обнаружили в упакованных по  логарифмическим спиралям семенах  подсолнечника и ромашки, в  чешуйках и плодах ананаса  и хвойных шишках золотое сечение.

9.7.2. Золотое сечение  в астрономии

   Главным пунктом своего учения  Пифагор считал понятие «всемирной  симпатии», т.е. гармонии всего  существующего. Он одним из первых использовал термин «космос» (от греч. cosmeo — украшаю), т.е. упорядоченный, гармоничный мир, противопоставляя его хаосу, беспорядочному началу бытия, с которого, по мнению греков, и началось созидание богами Мироздания.

   Именно поэтому Пифагор и пифагорейцы  всюду и во всем искали лад,  порядок, начиная с музыки и  кончая движением небесных светил. Все явления природы они оценивали  с позиций, что «принципы математики  являются принципами всего сущего».  Учение Пифагора до сих пор  служит источником плодотворных  идей в естествознании.

   Пифагорейцы считали, что небесные  светила расположены на концентрических  сферах, имеющих своим общим центром  Землю. Расстояния между сферами  соответствует определенным музыкальным  интервалам. При вращении сфер  каждая из них издает свой  тон, и в результате сложения  тонов получается гармоническая мелодия — «музыка небесных сфер», услышать которую могут только избранные.

   Пулковский астроном К.Н. Бутусов в серии обстоятельных работ решил проверить, в чем правы и в чем ошибались пифагорейцы. Оказалось, что соотношение периодов соседних планет равно числу Ф или Ф2. Частоты обращения планет и разности частот обращений образуют спектр с интервалом, равным числу Ф, т.е. спектр, построенный на основе золотого сечения. Расположение перигелиев и афелиев планет по логарифмическим спиралям также связано с гармоническим числом Ф.

   Не воспринимаемая нашим ухом  «музыка небесных сфер» таит  в себе глубокий физический  смысл. Когда формировалась Солнечная  система, в газопылевом облаке, окружающем Солнце, возникали акустические  волны, создаваемые Солнцем и  зарождающимися планетами. Для  устойчивости планетных орбит  должны выполняться условия стационарности, которые осуществляются при резонансе  акустических- волн с периодом, равном периоду обращения планеты. Почему же число Ф так распространено в Солнечной системе? Эту загадку еще предстоит решить будущему, а прикладные исследования золотого сечения для описания форм планет, их орбит, спиральных галактик очень плодотворны.

9.7.3. Золотое сечение  в искусстве и  музыке

   Золотое сечение — это явление,  обнаруживаемое в искусстве и  уходящее корнями глубоко в  природу. Пифагорейцы считали  золотое сечение одним из главных  центров своего учения о числовой  гармонии мира. Греки обнаружили  именно эту пропорцию в хорошо  сложенном человеческом теле. Она  радует глаз, будучи воплощенной  в скульптуре и архитектурных  ансамблях.

   В эпоху Возрождения золотое  сечение становится главным эстетическим  принципом. Леонардо да Винчи,  Рафаэль, Микеланджело, Тициан и  другие художники этой эпохи  используют его в композициях  своих полотен.

   В музыке также есть следы  вездесущего золотого сечения.  Если длину струны уменьшить  вдвое, тон повысится на одну  октаву. Уменьшению длины струны  в отношении 3/2 и 4/3 будут соответствовать  интервалы квинта и кварта. Благозвучные  интервалы и аккорды имеют  соотношение частот, близкое к  числу Ф. Кульминация мелодии  часто приходится на точку  золотого сечения ее общей  продолжительности.

   Современные музыковеды выявили  золотое сечение в произведениях  Баха, Бетховена, Шопена. Ими было  проанализировано множество музыкальных  произведений от Баха до Шостаковича.  Приблизительно 85% проведенных исследований  соответствует золотому сечению.  В выдающихся произведениях отношения  метрических масштабов основных  разделов музыкальной формы соответствуют  золотому сечению с точностью  до пятого или шестого знака.  Кроме произведений крупной формы  анализировались и миниатюры,  например, прелюдии Скрябина, миниатюры  Прокофьева, русские народные песни.  Законы гармонии, законы золотого  сечения были обнаружены и  в этих произведениях.

   На протяжении столетий звон  колокола извещал людей об  опасности, будил по утрам,  указывал, когда наступило время  отправляться на работу, садиться  за трапезу и т.д. Колокольни  — необходимая часть английского  пейзажа. В континентальной Европе  звонили сразу в несколько  колоколов. Тот, кто правил  колоколом, правил городом. Колокольному  звону придавалось важное значение. Искусству колокольного звона мы обязаны не только мелодичным звучанием колоколов, но и обширной, детально разработанной терминологией, позволяющей звонарям обмениваться краткими и точными репликами во время исполнения переборов с вариациями.

   Чтобы перезвонить все возможные  вариации из восьми колоколов,  потребовалось бы двадцать четыре  часа. На семи колоколах все  мыслимые ударные комбинации  можно перезвонить за три с  половиной часа.

Малый простой  звон:

3 12546 32 1456 234 165 2436 1 5 42635 1 46253 1 6452 1 3 6 54 123 56 1432 5 16342 153624 135264

123456

2. 14365 24 1635 426 153 4625 13 64523 1 65432 1 5634 12 536 142
3. 5 16 2 4 3 15264 132546

123456 312546

214365 321456

241635 234 165

426 153 2436 1 5

462513 426351

64523 1 46253 1

65432 1 6452 1 3

563412 6 54 123

536142 561432

351624 516342

315264 153624

132546 135264

Звонарю, управляющемуся со своей веревкой и  не отрывающему глаз от веревок, ведущих  к колоколам, которые должны пробить  раньше или позже, приходится использовать симметрию: если звонарь остановит  колокол слишком рано, то свободный  конец веревки будет путаться под ногами и при обратном качании колокол не будет подниматься достаточно высоко. Если же звонарь потянет за веревку слишком сильно, то колокол может проскочить верхнюю точку и звонарь взлетит под потолок. Каким образом не искушенный в математике звонарь ощущает разницу между перестановками колоколов, остается загадкой, но именно это имеет решающее значение и в исполнении и в композиции звонов, древней и вечно живой разновидности искусства, радующих слух и восхищающих разум.

   Гармония — это закон единства, она не может быть сведена  к чистому количеству. Не случайно  древние переносили законы музыкальной  гармонии на всю Вселенную.  Музыка, как и все искусство,  выражает гармонию, но не количество, а качество, сущность, красоту, поэтому  акценты следует перенести на  описание качества.