Газодинамические основы теории турбокомпрессоров

Рис. 3.10. Меридиональное сечение ступени осевого компрессора

 

 

В действительности изменение D_ср в пределах ступени (особенно для 1-х ступеней) может достигать заметной величины (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Изменение среднего диаметра

 

Из условия сохранения массового расхода для элементарной ступени, расположенной на среднем диаметре:

,

т.к. согласно рис. 3.11 D_ср1 < D_ср2, то df₁ < df₂, значит для выполнения условия сохранения массового расхода необходимо C_z1 > C_z2.

Развернув цилиндрические сечения кольцевых решеток рабочего колеса и направляющего аппарата на плоскость, получим совокупность плоских решеток профилей (рис. 3.12).

Как уже упоминалось  в описании принципа действия осевых компрессоров, в рабочем колесе к  газу подводится механическая энергия, которая идет на увеличение потенциальной энергии газа (повышение давления) и увеличение кинетической энергии (скорости газа). Форма профилей лопаточных решеток рабочего колеса и направляющего аппарата определяет соотношение между потенциальной и кинетической энергиями, получаемыми в колесе газовым потоком.

Так, например, теоретически можно создать такие профили  лопаток РК, при которых вся  механическая энергия будет преобразовываться  в потенциальную. Ступени с такими профилями будем называть реактивными  или со 100 % -й реактивностью.

Теоретически можно создать такие профили лопаток РК, при которых вся механическая энергия будет преобразована в кинетическую, а давление в РК увеличиваться не будет. Ступени с такими профилями будем называть активными или с 0 % - й реактивностью.

Естественно, возможна масса промежуточных вариантов соотношения между кинетической и потенциальной энергиями, например, ступени с 50 % - й реактивностью, в которых половина подводимой к газу работы идет на увеличение давления.

Рассмотрим кинематику потока в ступени осевого компрессора с 50 % - й реактивностью.

Повышение давления в  РК ОК можно оценить по разности квадратов относительных скоростей  . Повышение кинетической энергии – по разности квадратов абсолютных скоростей . Следовательно, для ступеней с 50 % - й реактивностью должно соблюдаться условие

,

т.е.    и .

На рис. 3.12 построены треугольники скоростей для решеток РК и ПНА ступени с 50 % - й реактивностью и показаны профили лопаточных решеток. На рис. 3.13. построен совмещенный для сечений 1 и 2 треугольник скоростей.

Для такой ступени  профили решеток РК и ПНА одинаковы  по форме и представляют собой  зеркальное отображение друг друга.

В ступенях с РК, имеющими реактивность больше 0 % и менее 100 %, всегда W₁ > W₂ и C₁ < C₂, значит, поток тормозится в относительном движении и ускоряется в абсолютном. В РК Р₂ > Р₁ , в ПНА Р₄ > Р₃  и C₄ < C₃.

Входная кромка профиля  лопатки ПНА определяется направлением вектора абсолютной скорости на выходе из РК С₂, а выходная – направлением скорости С₁.

 

Рис. 3.12. Кинематика потока в ступени ОК с 50 % - й реактивностью:

β_л1 – угол установки лопаток на входе в РК; β_л2 – угол установки лопаток на выходе из РК; α_л3 – угол установки лопаток ПНА на входе; α_л4 – угол установки лопаток ПНА на выходе

Рис. 3.13. Совмещенный треугольник скоростей для ступени ОК с 50 % - й реактивностью

 

Рассмотрим кинематику потока в ступени осевого компрессора  с 0 % - й реактивностью (рис. 3.14, 3.15). В этом случае, давление газового потока в РК не повышается, а вся работа, подводимая к газу, идет на увеличение кинетической энергии. Таким образом, в РК, в относительном движении, торможения потока не происходит и W₁=W₂ (Р₂=Р₁). Профили лопаток РК сильноизогнутые и симметричные относительно середины межлопаточного канала с углом установки β_В=90º. В ПНА происходит преобразование кинетической энергии, сообщенной газу в РК, в потенциальную энергию (Р₄>Р₃  и C₄<C₃). При этом профили лопаток ПНА получаются слабоизогнутые с малым углом установки α_В.

Рис. 3.14. Кинематика потока в ступени ОК с 0 % - й реактивностью

Рис. 3.15. Совмещенный треугольник скоростей для ступени ОК с 0 % - й реактивностью

 

В ступени осевого компрессора со 100 % - й реактивностью (рис. 3.16, 3.17) в рабочем колесе, наоборот, не происходит увеличения кинетической энергии, т.е. С₁=С₂, а за счет диффузорности межлопаточных каналов происходит торможение потока в относительном движении и рост давления (Р₂>Р₁). Поскольку вся энергия в РК идет на повышение давления, ПНА служит лишь для изменения направления абсолютной скорости, т.е. С₃=С₄ и давление в нем не повышается (Р₃=Р₄). В отличие от ступени с 0 % - й реактивностью, профили лопаток РК слабоизогнутые с малым углом установки β_В. Профили лопаток ПНА – сильноизогнутые и симметричные относительно середины межлопаточного канала с углом установки α_В=90º.

Таким образом, в ступенях с 0 % и со 100 % реактивностью профили  лопаток РК и ПНА по форме противоположны друг другу.

 

Рис. 3.16. Кинематика потока в ступени ОК с 100 % - й реактивностью

Рис. 3.17. Совмещенный треугольник скоростей для ступени ОК с 0 % - й реактивностью

3.4.2.2. Кинематика потока в ступени центробежного компрессора

 

На рис. 3.18 показаны треугольники скоростей в круговых лопаточных решетках ступени ЦК промежуточного типа.

      а)

 

б)

Рис. 3.18. Кинематика потока в ступени центробежного компрессора:

а) схема ступени и потока в круговых лопаточных решетках;

б) треугольники скоростей

3.5. Уравнение  Эйлера (основное уравнение теории  турбомашин)

 

В предыдущем разделе  при анализе кинематики потока в ступенях турбокомпрессоров был рассмотрен процесс преобразования в лопаточных решетках кинетической энергии потока в потенциальную. Установим связь между кинематикой потока в ступени и механической работой, подводимой к газовому потоку в РК (теоретический напор h_Т ).

Теоретический напор h_Т (Дж/кг) – работа, подведенная к газу в РК без учета трения наружной поверхности дисков о газ и протечек:

,      (3.18)

где h_тр – потери энергии на трение наружной поверхности дисков РК о газ, Дж/кг; h_пр – потери энергии на протечки в зазорах между дисками РК и корпусом, Дж/кг.

Для осевого компрессора поверхности дисков невелики, следовательно, и .

Теоретическая работа, в  принципе, определяется мощностью, затрачиваемой на вращение колеса:

,

где N_Т – мощность, затрачиваемая на вращение РК, Вт; G – массовый расход, кг/с.

Известно, что мощность на валу

,

где M_z – крутящий момент относительно оси вращения z, Н·м; ω – угловая частота вращения, с^-1.

Крутящий момент на валу РК M_z можно рассчитать, если известны касательные напряжения на поверхностях лопаток и перепад давлений на них

,

где – сила перепада давлений, Н; – сила трения газа о поверхности лопаток (рис. 3.19):

 ,  (3.19)

где DР – перепад давлений на элементе лопатки dS_л, Н/м²; S_л – площадь поверхности лопатки, м²; τ – касательные напряжения трения, Н/м²; z_л – число лопаток.

Однако сложность течения  в РК, обусловленная наличием пограничных слоев, отрывных течений и эффектов вращения приводит к тому, что расчет M_z по формуле (3.19) не обеспечивает требуемой точности и на практике вместо уравнения (3.19) используют уравнение Эйлера.

 

 

 

Рис. 3.19. К определению  крутящего момента относительно оси вращения

 

 

1-й способ вывода уравнения Эйлера, основанный на принципе Даламбера

 

В качестве примера рассмотрим РК центробежного компрессора (рис. 3.20).

Выделим на некотором  радиусе R элементарную частицу газа δm, которая перемещается в относительном движении в межлопаточном канале по траектории с радиусом кривизны R_W.

Определим силы инерции, действующие на выделенную элементарную частицу газа.

Поскольку частица перемещается при вращении РК с угловой скоростью ω по некоторому радиусу R, следовательно, на нее действует центробежная сила в переносном движении .

В относительном движении частица также перемещается по дуге окружности, следовательно, на нее будет действовать центробежная сила в относительном движении .

Как известно, в случае участия одновременно в двух движениях  – относительном и переносном, к частице приложена кориолисова сила . Направление ее совпадает с направлением вектора , повернутого на 90º в сторону, противоположную вращению колеса.

Кроме  того, в случае наличия вязкости, будет иметь место касательная сила трения в относительном движении .

В соответствии с принципом  Даламбера векторная сумма сил  инерции равна и противоположна по направлению сумме действующих  сил, то есть для определения затрат работы можно воспользоваться только силами инерции.

Таким образом, чтобы определить внешний момент M_z, приложенный к колесу, можно просуммировать моменты, вызванные силами инерции:

.    

Рис. 3.20. К выводу уравнения  Эйлера по 1-му способу: R_w – радиус кривизны траектории частицы в относительном движении; R₂ – радиус наружной поверхности РК; R₁ – радиус  входа на лопатки

 

 

Примем момент положительным (dM>0), если он направлен против направления угловой скорости ω.

Поэтому моменты сил  инерции, действующие относительно оси вращения z, будут иметь следующие знаки:

• по оси r - dM_r = 0; 
• по оси n - dM_n < 0; dM_кор > 0;
• по оси s - dM_s < 0.

Момент от центробежной силы в относительном движении

.   (3.20)

Момент от касательной  силы трения

.    (3.21)

Момент от кориолисовой силы

.    (3.22)

Преобразуем уравнения (3.20) – (3.22) с учетом того, что:

• относительная скорость есть производная пути по времени ;
• отношение массы элементарной частицы к бесконечно малому интервалу времени есть массовый расход ;
• радиус кривизны траектории частицы в относительном движении описывается уравнением ;
• синус текущего угла установки лопатки на некотором радиусе R

.

С учетом этих соотношений  преобразуем выражения (3.20) – (3.22).

Момент от центробежной силы в относительном движении

,

.    (3.23)

Момент от касательной  силы трения

    (3.24)

Момент от кориолисовой силы

,

.     (3.25)

Теоретический напор   ,

.

Подставив в последнее  выражение формулы (3.23) – (3.25), получим

Интегрируя по радиусу  от R₁ до R₂

с учетом того, что

из треугольника скоростей (рис. 3.21) известно: , поэтому

раскрывая скобки, получаем

.    (3.26)

Выражение (3.26) называется уравнением Эйлера в форме записи через закрутки потока.

Рис. 3.20. Треугольник скоростей: ;

2-й способ вывода уравнения Эйлера

 

Результаты взаимодействия потока с лопаточными аппаратами могут быть получены с помощью  теорем о количестве движения и о моменте количества движения.

Выделим в установившемся в относительном движении потоке газа элементарную трубку тока между  сечениями 1 и 2 (рис. 3.22).

Согласно теореме об изменении количества движения, если скорость газа, протекающего по какому-либо каналу меняется по величине и направлению, то на стенки канала действует сила Р, равная изменению количества движения в единицу времени:

.

Если газ протекает  через вращающееся колесо, то на последнее действует момент, равный разности моментов количества движения входящего и выходящего газа. Чтобы уравновесить этот момент, необходимо на колесо воздействовать равным моментом внешних сил, но в обратном направлении: