Гидравлический удар

Таким образом, длительность стадий сжатия и разрежения в произвольном месте  трубы будет рассчитываться по формулам

t_c   =   t_сз – 2 t_п     (9) и t_р   =   t_рз – 2 t_п     (10),

где   t_c и   t_р — длительности стадий сжатия и разрежения в произвольном месте трубы;   t_cз и   t_рз — длительности стадий сжатия и разрежения возле заглушки, вычисляемые по формулам (6) и (7) соответственно; t_п — длительность «полочки» (стадии нормального давления) в данном месте трубы, вычисляемая по формуле (8).

Не следует думать, что в силу конечного времени нарастания и  спада давления (неидеальности фронтов) максимальные усилия на стенки трубы  возле её входа будут меньше, чем  возле заглушки. Время воздействия  максимального давления у входа действительно будет мизерным, но сам спад максимального давления начинается уже вне трубы — в зоне ускорения жидкости. И неидеальность фронта спада формируется именно там — вне трубы.

Наконец, следует отметить, что  разрежение, вплоть до практически  полного отсутствия давления при  сильном гидроударе, отнюдь не означает, что на этой стадии жидкость покидает всю трубу. Это лишь означает, что  жидкость перестаёт давить на её стенки. Реально пустота образуется только в зоне отрыва возле заглушки — там же, где возник гидроудар при внезапном перекрытии потока.

Расчёт ускоряющегося потока.

Сила гидравлического удара  прямо зависит от скорости, которую  успел набрать останавливаемый поток. Достаточно определённо о скорости потока можно сказать только в одном случае — при резком перекрытии установившегося потока. Однако во многих случаях поток под воздействием внешнего давления (или, что то же самое, перепада уровней) периодически набирает некоторую скорость, после чего резко перекрывается, а затем цикл повторяется снова — таков, скажем, принцип работы гидравлических таранов. Этот же процесс имеет место при повторных циклах гидроудара независимо от того, был ли вызван первичный гидроудар перекрытием установившегося или ускорявшегося потока. Поэтому возникает необходимость определить следующие взаимосвязанные величины:

1. максимальную скорость, которую изначально покоящаяся жидкость под воздействием внешнего давления может набрать при заполнении трубы;
2. время, за которое на этом расстоянии поток наберёт заданную скорость (конечно, не превышающую максимально возможной);
3. скорость, которую поток может достичь, имея заданное расстояние для разгона.

При рассмотрении будем предполагать, что поток начинает заполнять  горизонтальную пустую трубу, среда  внутри которой не оказывает ему  сколько-нибудь заметного сопротивления. Кроме того, давление в резервуаре на уровне входа в трубу также  будем считать постоянным (это соответствует ситуации, когда объём резервуара намного больше заполняемого объёма трубы, либо такая неизменность давления обеспечивается специальными техническими средствами).

Расчёт сначала проведём без  учёта потерь на гидравлическое трение (для сверхтекучей жидкости), а затем попробуем учесть потери.

Где ускоряется жидкость?

Прежде всего следует выяснить, где происходит ускорение жидкости — в трубе или вне её? Уравнение непрерывности даёт однозначный ответ: внутри трубы неизменного сечения скорость потока также неизменна, а следовательно, всё ускорение происходит в резервуаре перед трубой! В этом легко убедиться, наблюдая за сливом воды из ванны — «воронка» над сливным отверстием обусловлена именно зоной ускорения воды, находящейся в объёме самой ванны, а в сливной трубе скорость воды уже не меняется. Поэтому и энергия гидравлического удара обусловлена всем объёмом воды, двигающейся в трубе с одной и той же скоростью.

 
Вовлечение заполняющей  трубу жидкости в движение вне  трубы. 
Более насыщенным цветом показаны области с большей скоростью. Градации показаны условно, нарастание скорости происходит плавно.

Давайте определим форму границы  области, на которой скорость жидкости меньше скорости в трубе на одну и ту же величину (форму эквискоростной поверхности). Поскольку вне трубы  жидкость стремится к её входу  со всех сторон в равной степени (давление-то везде одинаково), логично предположить, что при отсутствии каких-либо дополнительных направляющих граница этой области ускорения вокруг входа в трубу имеет сферическую форму. Впрочем, вблизи от входа трубы она будет несколько отличаться от сферической из-за того, что жидкость «сзади» от входа испытывает гидравлическое трение о стенки трубы и, к тому же, прежде чем попасть в внутрь, ей необходимо поменять направление, то есть ей труднее попасть в трубу, чем той, что находится напротив входа и практически не меняет направление движения вплоть до попадания внутрь трубы. Однако по мере удаления от входа влияние этих факторов ослабевает и форма эквискоростной поверхности будет всё более приближаться к сферической.

Следует отметить ещё один фактор, влияющий на форму эквискоростной поверхности — это градиент давления. Если он значителен (это имеет место возле поверхности, когда при относительно небольшом увеличении глубины давление может изменяться в разы), то такая поверхность приобретает яйцеобразную форму острым концом вверх, а уровню входа трубы соответствует самая широкая часть этого «яйца». На большой глубине, где на при той же разности уровней давление меняется лишь на малые доли процента, форма эквискоростной поверхности будет практически неотличима от идеальной сферы.

Остаётся определить закон, по которому меняется скорость жидкости во внешней  среде по мере удаления от входа  в трубу. Ответ определяется всё  тем же уравнением непрерывности: скорость обратно пропорциональна площади сечения потока, а стало быть, квадрату расстояния от входа в трубу (при строгом расчёте из площади сферы необходимо вычесть площадь сегмента, соответствующего внешнему диаметру трубы, однако уже на расстоянии полутора радиусов от центра входа в трубу его доля составляет лишь немногим более 10%, в двух радиусах — около 7%, а в пяти радиусах — всего 1%).

Гашение ударной волны.

Поскольку жидкость разгоняется перед  входом в трубу, то, когда в результате гидроудара жидкость в трубе остановилась, вынуждена остановиться и уже набравшая некоторую скорость жидкость возле входа в трубу. Эта остановка вызывает повышение давления вокруг входа, что часто интерпретируется как «выход ударной волны из трубы». Однако повышение давления прямо пропорционально скорости останавливаемой жидкости, а вне трубы эта скорость падает обратно пропорционально квадрату расстояния до входа. Поэтому уже в 10 радиусах трубы от её входа скачок давления при гидроударе составит лишь 1% от его силы в самой трубе — это выглядит как «затухание» ударной волны при выходе её из трубы.

Жидкость в трубе начинает двигаться  наружу сразу, как только ударная  волна вышла из трубы, поскольку  давление сразу становится меньше давления в трубе, хотя и превышает давление невозмущённой внешней жидкости. Однако перепад давлений пока не так велик, и поэтому жидкость движется ещё не так быстро. Затем давление вне трубы быстро падает, и скорость движения жидкости наружу также быстро нарастает. Тем не менее, этот процесс обуславливает принципиальную неидеальность фронта падения давления, начинающего движение от входа к заглушке — он не может быть идеально скачкообразным даже теоретически! На рисунке в фазе (5) это показано как размытость границы падения давления.

Наконец, следует напомнить, что  все описанные здесь процессы присходят очень быстро. Если гидроудар  был достаточно слабый и отрыва жидкости от заглушки не произошло, то для трубы диаметром в несколько сантиметров время гашения ударной волны и формирование обратного фронта измеряется не милли-, а микросекундами!

Кстати, при обратном движении на стадии отбоя торможение выбрасываемой из трубы жидкости также происходит вне её пределов — в объёме резервуара возле входа. В случае сильного обратного движения со значительным отрывом жидкости от заглушки несферичность зоны торможения более выражена за счёт изначального присутствия направленного скоростного напора, и вблизи от входа трубы она, скорее, напоминает «факел», чем сферу. При этом непосредственно у стенок трубы возле входа возможна эжекция (подсос) жидкости в направлении выброса, то есть к срезу трубы, а не от него. Однако по мере торможения и удаления от входа форма эквискоростной поверхности при торможении выброса во внешней среде опять-таки приближается к сферической.

Расчёт скорости заполняющего трубу  потока для сверхтекучей жидкости.

Выяснив, что жидкость ускоряется вне трубы, а внутри неё скорость потока одинакова, можно переходить к расчётам скорости.

Сначала рассмотрим внезапное заполнение абсолютно пустой трубы. Условно разобьём непрерывный поток на маленькие порции, мысленно нарезав его поперёк движения на тоненькие «ломтики».

В соответствии с уравнением Бернулли, когда первая порция жидкости ринется в трубу, при разгоне жидкости с неизменным гравитационным потенциалом (в горизонтальной трубе) всё давление должно будет перейти в скоростной напор:

ρ · v² / 2   =   –ΔP     (11),

где   ρ — удельная плотность жидкости;   v — скорость потока; –ΔP — потери давления, перешедшие в скоростной напор.

При этом со стороны трубы жидкости ничего не препятствует — труба пуста, поэтому первая порция набирает максимальную скорость практически мгновенно. За ней устремляется следующая порция, на которую сзади действует такое же давление, и спереди её также ничто не сдерживает — ведь первая порция уже унеслась вперёд с максимально возможной скоростью! Поэтому и вторая порция на входе в трубу набирает максимально возможную скорость. То же самое происходит и с третьей, и с последующими порциями. Конечно, в реальности они ускоряются более плавно, чем самое начало потока, но всё это ускорение, как мы выяснили чуть выше, происходит перед входом в трубу, внутри же трубы, начиная от самого её входа, заполняющий поток движется с максимально возможной скоростью, определяемой давлением на входе в трубу:

v_М  =  √(2 · P₀ / ρ)     (12),

где  v_М — максимальная скорость потока;  √ — операция извлечения квадратного корня;  ρ — удельная плотность жидкости;  P₀ — давление возле входа в трубу. Мы получили вариант известной формулы Торричелли для определения скорости свободно истекающей жидкости.

Теперь предположим, что в трубе возле входа уже было некоторое количество жидкости, которая, к тому же, уже двигалась с некоторой скоростью. Тогда по закону Бернулли со стороны жидкости вне трубы на неё будет действовать сила

F  =  (P₀ ± ρ · v² / 2) / (π · R²)     (13),

где  F — сила от внешнего давления, воздействующая на жидость в трубе;  P₀ — внешнее давление возле входа в трубу;  ρ — удельная плотность жидкости;  v — скорость жидкости в трубе;  R — внутренний радиус трубы;  ± — определяется направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать.

Соответственно, ускорение жидкости будет определяться этой силой и массой жидкости в трубе:

a  =  F / m  =  ((P₀ ± ρ · v² / 2) / (π · R²)) / (ρ / (x · π · R²))  =  (P₀ / ρ ± v² / 2) / x     (14),

где  a — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления;  P₀ — внешнее давление (возле входа в трубу);  ρ — удельная плотность жидкости;  v — скорость жидкости в трубе;  R — внутренний радиус трубы;  x — текущее заполнение трубы, т.е. расстояние от начала потока до входа в трубу;  ± — векторное сложение давления и скоростного напора, определяемое направлениями давления и скорости жидкости: если они совпадают, следует вычитать, а если направлены встречно — складывать.

Проанализируем только что полученную формулу для ускорения.

• Если жидкость движется навстречу внешнему давлению, внешнее давление тормозит её, суммируя своё воздействие со скоростным напором жидкости. Эта ситуация имеет место во время обратного хода жидкости при отбое гидроудара в фазах 5 — 7 (пока обратное движение не остановится).
• Если жидкость в трубе покоится или движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но скорость её меньше максимальной  v_M (12), внешнее давление ускоряет её движение внутрь трубы и тем сильнее, чем медленнее движется жидкость. Эта ситуация соответствует фазе 1 при повторных циклах сильного гидроудара (с отрывом).
• Если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, со скоростью, равной максимальной  v_M (12), ускорение отсутствует. Эта ситуация соответствует рассмотренному чуть выше заполнению пустой трубы, когда скорость заполнения неизменна и максимальна.
• Наконец, если жидкость в трубе движется в ту же сторону, куда действует внешнее давление, но её скорость превышает  v_M (12), внешнее давление не может ускорить жидкость в трубе, а новая жидкость заполняет трубу как пустую со скоростью  v_M. Впрочем, для создания такой ситуации надо приложить особые усилия и проявить немало изобретательности.

В соответствии с формулой (14) скорость потока при заполнении трубы на расстояние x от входа в трубу будет равна

v(x)   =     _l^x∫ a(x) dx   =   _l^x∫ ((P₀ / ρ ± v(x)² / 2) / x) dx     (15),

где   v(x) — скорость жидкости в трубе с учётом заполнения трубы;   l — начальное заполнение трубы от её входа;   x — текущее заполнение трубы от её входа;   a(x) — ускорение жидкости в трубе под воздействием внешнего давления с учётом заполнения трубы;   P₀ — внешнее давление (возле входа в трубу);   ρ — удельная плотность жидкости.