Закон всемирного тяготения

            (1)

    Современники Ньютона не сразу осознали величие гравитации. Христиан Гюйгенс, которого сам Ньютон называл великим ученым, писал: «Мысль Ньютона о взаимном притяжении, я считаю нелепой и удивляюсь, как человек подобно Ньютона, мог сделать столь трудных исследований вычислений, не имеющих в основании ничего лучшего, чем эта мысль».

    Мысль о том, что небесные тела обладают свойством притягивать, высказывали  ранее до Ньютона Николай Кузанский, Леонардо да Винчи, Коперник и Кеплер. «Тяжесть есть взаимная склонность между родственными телами, стремящими слиться, соединиться воедино... В какое место мы ни поместили бы Землю, тяжелые тела вследствие природной им способности будут всегда двигаться к ней... Если бы в каком-нибудь месте мира находились два камня на близком расстоянии друг от друга и вне сферы действия, какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам...» – писал в своей книге «Новая астрономия» Кеплер. Гениальные высказывания Кеплера были лишь только началом большого пути, которое стоило еще преодолеть. Из множества исследователей этот трудный путь суждено было пройти Ньютону.

    Триумфальному шествию закона всемирного тяготения  предшествовал нелегкий период его  становления. К идее всемирного тяготения несколько раньше Ньютона пришел Роберт Гук (1635...1703). Между Гуком и Ньютоном шел долгий спор о приоритете в открытии закона всемирного тяготения. В отличие от высказываний Гука, Ньютон разработал математическую теорию тяготения и доказал численными методами действие закона тяготения. Взгляды на гравитацию своих предшественников Ньютон отобразил одной формулой (1), которая является математической моделью гравитационного взаимодействия двух материальных тел.

    После смерти Исаака Ньютона (1727 г.) закон  всемирного тяготения подвергся новым испытаниям. Последним серьезным возражением против закона всемирного тяготения считают публикацию французского математика и астронома Алексиса-Клода Клеро в 1745 г. Некоторые детали вычисленной им орбиты Луны, по его мнению, требуют исправления закона всемирного тяготения.

    Одной из важнейших проблем А. Клеро  считал теорию движения Луны на основе закона всемирного тяготения Ньютона, точнее – исследование того неравенства, «которое получило у Ньютона наиболее темное развитие, именно, движение лунного перигея». Оригинальный самостоятельный путь исследований А. Клеро приводит к тому же значению, которое получил в свое время сам Ньютон, расходившееся с наблюдаемыми данными почти в два раза. К таким же выводам пришел независимо другой исследователь Жан Лерон Даламбер (1717...1783). Он, как и А. Клеро пришел к выводу, что под действием «ньютонова» притяжения перигей орбиты Луны должен был завершать одно обращение за 18 лет, а не за 9 лет, как происходит в действительности.

    Независимо друг от друга А. Клеро и Ж. Даламбер, занимающиеся исследованием в области «ньютоновской» механики и теории тяготения, пришли к одинаковому выводу о том, что теория Ньютона не способна объяснить движение перигея Луны и требует внесения поправок. Такой путь подсказал еще сам Ньютон.

    Небольшая поправка А. Клеро формы всемирного закона тяготения Ньютона была представлена в следующем виде:

            (2)

где M и m – массы двух тел, R – расстояние между ними, γ – гравитационная постоянная, n – n > 2 (например, n = 3, n = 4), α – малая величина, подбираемая опытным путем.

    Высказывание  Ж. Даламбера также свидетельствует  о необходимости дополнительного  члена: «Луна притягивается к  Земле еще другой, небольшой по величине силой, действующей не по закону обратной пропорциональности квадратам расстояний».

    Против  вывода А. Клеро и Ж. Даламбера  выступил известный французский  естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707...1783). Он своим авторитетом спас формулу  Ньютона от коррекции, заявив, что  нам предлагают нечто произвольное, вместо того, чтобы воспроизводить истину». По его мнению, после первого изменения впоследствии могли бы беспрепятственно возникнуть и последующие члены. «Всякий физический закон лишь потому является законом, что его выражение обладает единственностью и простотой» – заявил Ж. Бюффон.

    До  настоящего времени считают, что  Клеро перепроверил свои результаты и обнаружил ошибку. С этой точкой зрения мы не можем согласиться. В  рамках своей чисто аналитической  модели он действительно исправил противоречия в своей модели, и нетронутой оставил несовершенство в законе всемирного тяготения Ньютона. На наш взгляд А. Клеро не стал противопоставлять себя авторитету самого Ньютона, его последователям и вышел на самостоятельный путь исследования. Он не стал уточнять формулу закона всемирного тяготения и тем самым избежал ожидавших его в будущем возможных острых дискуссий. Как покажет история, данная стратегия оправдала себя. А. Клеро выиграет конкурс объявленный в 1750 г. Петербургской академией, получит восторженные отзывы современников, издаст книгу «Теория движения Луны, выведенная из единственного принципа притяжения, обратно пропорционально квадратам расстояний» в 1752 г. и будет избран член - корреспондентом Петербургской академии наук в 1754 г.

    Все силы А. Клеро были сосредоточены на выполнение собственной программы исследований: «После долгих размышлений над теорией Ньютона и не достигнув той степени убежденности, которой я ожидал, я решил больше ничего у него не заимствовать и самостоятельно искать определения движения небесных тел, при единственном допущении об их взаимном притяжении». Данный подход позволил ему построить чисто аналитическую модель гравитационного взаимодействия.

    С тех пор прошло 350 лет. Закон всемирного тяготения  в первозданном виде благополучно встретил второе тысячелетие. Сомнения А. Клеро и Ж. Даламбера относительно закона всемирного тяготения Ньютона, на наш взгляд, так и не рассеялись. Последовательность следующих рассуждений приводит нас к неожиданным результатам.  

    Рассмотрим  так называемый Уточненный закон всемирного тяготения.

    Два материальных тела М и m притягивают друг друга с одинаковой силой F. Гравитационное поле массы М вызывает ускорение m:

    g = γ · (M / R²)

    Соответственно  масса m вызывает ускорение М:

    g = γ · (m / R²)

    Относительное ускорение двух тел М и m g_от равное разности g_M – g_m, а так как g_M и g_m направлены в противоположные стороны, то g_от равно сумме ускорений g_M и g_m:                            (3)

    Следовательно, ускорение при относительном  движении двух притягивающихся материальных тел M и m мы можем считать, что сила исходит из неподвижного центра и можно исследовать движение только одного тела.

    Поясним это на следующем примере и  на практике проверим адекватность формулы (3) окружающей действительности. На поверхности  Земли, то есть на расстоянии 6371,032 км от ее центра, ускорение g_Зем = 9,81 м/с². Ускорение, вызываемое притяжением Земли на расстоянии r = 384400 км до Луны, должно уменьшиться в 384400² / 6371,032² = 3640,38 раз. Ускорение Луны, вызываемое притяжением Земли равно:

    g_{Земля-Луна} = 9,81 м/с² / 3640,38 = 0,2695 см/с²

    Соответственно  на поверхности Луны, на расстоянии r = 1738 км от ее центра, ускорение g_Луна = 1,62 м/с². Это ускорение, вызываемое притяжением Луны на расстоянии r = 384400 км до Земли, должно уменьшиться в 384400² / 1738² = 48917,83 раз.

    Ускорение Земли, вызываемое притяжением Луны равно:

    g_{Луна-Земля} = 1,62 м/с² / 48917,83 = 0,0033 см/с²

    Относительное ускорение Луны g_от будет равно сумме ускорений:

    g_от = g_{Земля-Луна} + g_{Луна-Земля} = 0,2695 см/с² + 0,0033 см/с² = 0,2728 см/с²

    Полученное  значение относительного ускорения  Луны g_от можно проверить следующим способом. Предполагая, что Луна движется по окружности, вычислим ее действительное ускорение по формуле:

    G_от = V² / r

где V – скорость движения Луны по орбите, r – расстояние от Земли до Луны.

    Скорость  движения Луны по орбите V можно вычислить по формуле:

    V = (2πr) / T

где T – звездный период обращения Луны, Т = 27,3 суток, r – расстояние от Земли до Луны (r = 384400 км).

    Вычислим  значение V и G_от:

    V = (2 · 3,14 · 384400 км) / 2358720 сек. = 1,02345 км/сек.

    G_от = (1,02345 км/сек)² / 384400 км = 0,2725 см/сек².

    Расчеты показывают, что G_от = g_от и относительная погрешность этих двух показателей составляет:

    G_от – g_от = 0,2728 см/сек² – 0,2725 см/сек² = 0,0003 см/сек² или 0,12%

    Численные расчеты g_от на реальных данных Земли и Луны подтверждают адекватность формулы (3) окружающему миру.

    Рассмотрим  теперь движение тела m относительно M. Величина силы F действующая между m и M равна произведению массы m на относительное ускорение g_от:

         (4)

    Формулу (4) можно представить в виде суммы  двух членов:

           (5)

    Первый  член совпадает с формулой (1) –  закона всемирного тяготения, а в  целом формула (5) напоминает формулу (2), которую в свое время предложил  А. Клеро с целью корректировки всемирного закона Ньютона.

    Если  m значительно меньше, чем M, т.е. m << M, то значение второго члена относительно первого несущественна. Как известно, Ж. Бюффон в свое время отверг формулу (2) из-за того, что А. Клеро добавил второй член произвольно, то в нашем случае в формуле (5) первый и второй член выведены из окружающего нас мира. Поэтому мы вправе сказать о том, что закон всемирного тяготения Ньютона является частным случаем формулы (4) и (5).

    Первое  слагаемое формулы (5) не вызывает вопросов. Это закон всемирного закон тяготения Ньютона. Перейдем к анализу второго слагаемого. Почему в числителе второго слагаемого произведение m · m, а не M · M? Действие М уже проявилось в первом слагаемом, оно породило гравитационный потенциал (γ · М) / R² и на этом ее роль закончилась. Второе слагаемое раскрывает сущность гравитационного потенциала второго тела m и оно равно (γ · m) / R². Теперь осталось вычислить силу во втором слагаемом и для этого по традиционной схеме необходимо (γ · m) / R² умножить на М, т.е. мы получим (γ · m · М) / R² опять всемирный закон тяготения Ньютона! Но это противоречит формуле (4), который был получен нами аналитически из расчетов ускорений между Землей и Луной. На самом деле реальная сила будет равна (γ · m · m) / R². Здесь мы подходим к факту, гравитационный потенциал порождаемый телом m вызывает ускоренное движение самого тела m в сторону М. И это не противоречит третьему закону Ньютона. Тело m движется равноускоренно в сторону М и соответственной М движется равноускоренно в сторону m. Но так как m значительно меньше М сила, выраженная в форме (γ · m · m) / R² объективно отражает силу, которая порождается массой m. Массу М можно охарактеризовать как центральное тело, вокруг которого движется тело m. То тело, которое движется относительно центрального тела, будет являться критерием выбора его во второе слагаемое.

    Теперь  сформулируем новый уточненный закон  всемирного тяготения:

Каждые  две частицы материи  притягивают взаимно  друг друга, или тяготеют друг другу, с силой, прямо пропорциональной произведению суммы двух масс на массу тела, движущуюся относительно центральной массы и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними (4).

    С точки зрения теории и методологии  изучения закона гравитации переход  от формулы (1) к (4) наиболее полно раскрывает сущность закона всемирного тяготения. Из формулы (1) мы видим только гравитационное действие одного тела M либо m, в то же время формула (4) отражает взаимное гравитационное действие двух тел M и m одновременно.

    Небольшая поправка к закону всемирного тяготения Ньютона ведет к интересным последствиям. Что следует из формулы (4)?

     Для этого нам следует поспешить на знаменитую Пизанскую башню, пока она не упала, и повторить опыт Галилея. Результат будет следующий – вопреки общепринятому мнению, более тяжелое тело достигнет Земли быстрее! Опыт осуществить несложно, только хлопоты будут создавать толпы туристов, которых не было в XVI веке.

    Эта поправка еще более ярко проявляется  при m = M. Значение силы F вычисленное по формуле (4) F = γ · 2М² / r² больше в два раза чем значение силы рассчитанной по формуле (1) F = γ · М² / r².

    Прав  был Аристотель, утверждая, что падение  массы золота или свинца, или какого-нибудь другого тела происходит тем быстрее, чем больше его размер! К этому выводу пришел и Леонардо да Винчи. Великий художник и ученный бросал тела разного веса и пришел к такому же результату: скорость падения тела зависит от веса тела.

    Из  формулы (4) следует неаддитивность силы тяжести. Рассмотрим это на примере  силы тяжести двух тел m₁ и m₂ относительно земли. Тело m₁ действует на землю силой F₁ и второе тело m₂ действует соответственно с силой F₂. Складывая массы двух тел m₁ и m_2, получим третье тело m₃, где m₃ = m₁ + m_2. Оно также действует на землю силой равной F₃. Для нашего примера нарушение аддитивности силы тяжести означает:

    F₁ + F₂ < F₃      (6)

    Если  придерживаться традиционной формулы (1), то аддитивность не нарушается и  для сил тяжести выполняется  условие: