Методы обработки изображений

Рис. 4. Изображения а) и в) после обработки с целью одновременного изменения (растяжения или сжатия) динамического диапазона и усиления контрастности. Результаты обработки представлены на рис. 4 б) и г) соответственно.

 

2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ ОЦЕНИВАНИЕМ ФРТ ПО ИНФОРМАЦИИ РАЗМЫТОГО КРАЯ

Примем следующее априорное  предположение как рабочую гипотезу: на наблюдаемом фрагменте размытого  изображения, подлежащем восстановлению, должны быть "резкие" границы физических объектов ППЗ. Таковыми могут быть, например, границы разделов лес-просека, лес-дорога, берег-река, пашня-поле и  тому подобное. Если каким-либо образом  оценить степень или характер этих размытых переходов, то можно восстановить и форму функции рассеяния  точки. Если попытаться оценить градиенты  изображения, то экстремальные значения этих "размытых" градиентов будут  относиться к границам физических объектов, которые мы должны "видеть четко", без размытия (вместе с тем на изображении естественно будут  присутствовать и объекты с плавными изменениями интенсивностей, и мы наблюдаем весь спектр значений градиентов). Таким образом, в первом приближении  мы предлагаем следующие этапы алгоритма  решения этой задачи:

1. прежде всего, выделяем относительно стационарный участок размытого изображения, в пределах которого ФРТ не меняет свою форму;
2. продифференцируем полученное изображение и построим гистограмму распределения значений оцениваемых градиентов;
3. декомпозируем полученную гистограмму на два распределения с весовыми множителями, одно из которых – (право ориентированное) описывает распределение экстремумов градиентов (ситуация А₁), а второе - (лево ориентированное) описывает все остальные не градиентные перепады яркостей (ситуация А ), то есть, надо идентифицировать смешивающее распределение;
4. после того, как смесь идентифицирована, строим байесово решающее правило проверки двух гипотез: - градиент и - не градиент, которое выявит на изображении все участки видеоданных, связанных с наличием размытых границ объектов ППЗ с высоким контрастом;
5. теперь сканируем лишь эти участки видеоданных и фиксируем степень их размытия, получая "срезы" для восстановления симметричной ФРТ;
6. наконец, когда ФРТ получена, восстановление изображения производится одним из стандартных методов, например, с помощью инверсного фильтра.

ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ  ИЗОБРАЖЕНИЙ

Теперь рассмотрим задачу поиска градиентных перепадов яркостей и подход к оцениванию таких перепадов  подробнее. С этой целью введем понятие  окрестности анализируемой точки  изображения. Будем полагать, что  подлежащее анализу изображение  оцифровано, так что цифровое представление  имеет вид двумерной матрицы  чисел  , где - оцифрованное значение яркости для точки (пиксела) с координатами плоскости наблюдаемого изображения формата . Совокупность элементов локального участка изображения с координатами принадлежащими квадрату пикселов будем называть фрагментом с центральным элементом и введенной на нем локальной системой координат , где - параметр размера окна. Для описания поведения значений яркостей в пределах фрагмента воспользуемся фасеточной моделью Харалика-Ватсона, при этом локальные характеристики изображения описываются отрезками плоскости - фасетами. Уравнение этой плоскости относительно декартовых прямоугольных координат имеет вид

, (2.1)

где . Проведем плоскость через набор значений оцифрованных интенсивностей для окрестности некоторой центральной точки изображения наилучшим образом в смысле минимума следующего квадратичного критерия невязки

, (2.2)

где - значения яркостей в окрестности центральной точки с локальными координатами , . Дифференцируя J по оцениваемым параметрам и приравнивая частные производные к нулю, находим оценки неизвестных величин, тогда

, (2.3)

где

, , , .

Уравнение (2.1) плоскости  в направляющих косинусах имеет  вид

, (2.4)

где

, ,

, .

Фасеточную модель фрагмента  будем использовать для решения  задачи выделения градиентных участков изображения. Величину градиента изображения  в некоторой точке  будем оценивать пространственной производной, определяемой как отношение площади наклонной плоскости, проведенной через совокупность радиояркостей ансамбля точек, образующих окрестность на квадрате к площади основания этого фрагмента . Для уравнения плоскости в направляющих косинусах (2.4) имеем следующую оценку градиента

, (2.5)

где суммирование производится от –l до +l. Полученное оценочное значение градиента соотнесем центральной точке фрагмента с локальными координатами пикселя . Если теперь аналогичным образом "продифференцировать" каждый из фрагментов всего анализируемого изображения, соотнося центральным элементам "скользящего" окна пикселя значения соответствующих градиентов, то от исходного изображения радиояркостей мы перейдем к изображениям градиентов . Введенное определение градиента обладает фильтрующими свойствами, хотя и приводит к дополнительному сглаживанию оцениваемых величин.

РЕШАЮЩЕЕ ПРАВИЛО ВЫДЕЛЕНИЯ  ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ГРАДИЕНТОВ

Для построения байесова решающего  правила обнаружения и выделения  экстремальных значений градиентов на полученном градиентном изображении  необходимо прежде всего восстановить вероятностные модели ситуации А₁ - градиент и А₀ - не градиент, и оценить их априорные вероятности. Для этого необходимо декомпозировать полученную гистограмму распределения градиентов на два распределения, одно из которых – распределение экстремумов градиентов, а второе – распределение остальных не экстремальных градиентов, то есть, надо идентифицировать составляющие компоненты следующей модели

, (2.6)

где - распределение экстремумов градиентов, - распределение не экстремальных градиентов, P, Q – априорные вероятности ситуации А₀ и A₁ соответственно, причем P + Q =1. Возникает задача оптимизации квадратичного критерия качества следующего вида

, (2.7)

где - гистограмма распределения градиентов изображения, а - вектор неизвестных параметров, состоящий из компоненты P и параметров функций плотности и , принадлежащих параметрическим семействам функций. Следует заметить, что задача восстановления компонент смеси имеет решение лишь в случае её идентифицируемости. Это трудно формализуемое и проверяемое условие с геометрической точки зрения означает, что и должны иметь ярко выраженные моды. Поэтому доля или мера участков с экстремальными значениями градиентов должна быть достаточно высокой, чтобы функция плотности могла проявить свою форму. Задача декомпозиции смешивающего распределения, ввиду высокой неопределенности, не всегда имеет решение. Необходимо привлечь априорные данные о форме составляющих распределений. В связи с этим обратимся к следующему факту математической статистики, связанному с теорией экстремальных значений. Известно, что плотность распределения максимумов независимых случайных величин в асимптотике растущего числа наблюдений I типа (распределение максимальных значений Гумбеля ) имеет следующий вид

, (2.8)

, , ,

где - параметр (мода) центра распределения, - масштаб распределения, причем, оценочные мат ожидание и дисперсия связаны с и следующим образом: , . В качестве нами было выбрано распределение Джонсона S_B, с параметрами (нижняя граница x), (размах выборки), а - параметры формы. Учитывая, что часть параметров можно оценить по выборочным данным, фактически вектор неизвестных параметров имел лишь три компоненты и , где -знак транспонирования. Задача оптимизации критерия (2.7) решалась с привлечением адаптивных методов поиска экстремума. После того, как смесь идентифицирована, построим байесово решающее правило проверки двух гипотез: - градиент и - не градиент, которое выявляет все участки видеоданных, связанных с наличием границ размытых перепадов яркостей

, (2.9)

где u - принимаемое решение или номер принимаемой гипотезы, . Байесово решающее правило (2.9) преобразует изображение градиентов в изображение контурных линий, соответствующих экстремальным значениям градиентов.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФРТ ПО ЗАМУТНЕННЫМ ИЗОБРАЖЕНИЯМ

На предшествующем шаге нам  удалось выявить на изображении  участки с размытым краем, причем, нас будут интересовать, прежде всего, линейные участки изображений. Рассмотрим вопросы, связанные с восстановлением ФРТ по размытому краю [4]. Будем полагать, что функция рассеяния точки нормирована и . В проекции на плоскость ФРТ имеет вид , что соответствует функции рассеяния линии или щели. Для края полуплоскости распределение интенсивности в направлении, перпендикулярном краю описывается суммированием функций рассеяния линий, так что получаемая интенсивность имеет следующий вид

. (2.10)

Таким образом, если нам известна функция рассеяния края, то . Предположим, что ФРТ обладает круговой симметрией (асимметрична). В этом случае пространственную ФРТ можно восстановить всего лишь по одному сечению – проекции ФРТ на плоскость. Действительно, спектр проекции ФРТ на плоскость, проведенную через ось и под углом к оси или (ввиду осевой симметрии ФРТ) на плоскость имеет вид . Двумерное преобразование Фурье от ФРТ выражается следующим образом

, (2.11)

сравнивая и , видим, что . Откуда следует, что является сечением плоскостью , а ввиду осевой симметрии, произвольным центральным сечением. В этом случае восстанавливается по сечению путем задания радиус-вектора , то есть . Таким образом, для восстановления ФРТ по реально размытому изображению необходимо оценить функцию размытия края. Затем её продифференцировать, получить срез ФРТ. Анализируя изображение, заметим, что реальные физические объекты, имеющие своими границами ступенчатые функции перепада яркостей, характеризуются некоторой величиной перепада яркостей , так что, если размытие единичной ступеньки дает интенсивность , то размытие ступеньки с контрастом дает величину . В этом случае коэффициент каждого обнаруженного края можно оценить путем нормировки . Следующий этап заключается в том, чтобы выявить "срезы" размытия края, проходящие в точках максимальных значений градиентов и получить некоторый усредненный срез

, (2.12)

где - количество выделенных "срезов" с большим градиентом.

Вначале построим локальную  систему координат для оценивания профиля размытия края, который будем  называть срезом. Положим в уравнении  плоскости (2.3) , тогда - это "центр" плоскости. Найдем проекцию нормального вектора на плоскость , образующую с осью угол . Эта проекция не должна быть нулевой, так как мы выделили и рассматриваем плоскости с высоким градиентом

, , , ,

, , ,

где , , - углы направляющего вектора плоскости к осям , , соответственно. Таким образом, в плоскости перейдем к "развёрнутой" системе координат и, совместив с , получим

,

, (2.13)

где x^' ,y^' ,z^' – новая система координат, ассоциированная со срезом. Чтобы получить распределения яркостей среза, необходимо определить интенсивности размытого изображения по координате по направлению градиента. Чтобы уменьшить ошибку, связанную с наличием шума, следует взять несколько соседних трасс и произвести усреднение на участке (размер носителя ФРТ) (2.12). После этого сгладим данные сплайном, получим , далее проводим дифференцирование .

ПРИМЕР ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ  С МОДЕЛИРУЕМЫМ ЗАМУТНЕНИЕМ

Для иллюстрации предложенного  подхода было выбрано изображение  ППЗ, полученного спутником "Ресурс" с разрешением 45х45м² в пикселе. Ввиду того, что мы не использовали данные о масштабе и геометрии снимка и не привязывались к конкретным атмосферным условиям, а иллюстрируем лишь возможности одновременного оценивания и ФРТ и размытого изображения, все размеры, в целях упрощения, приводятся в пикселях или оцифрованных отсчетах данных. Для моделирования замутнения "туманом" использовалась линейная модель свертки изображения с ФРТ в виде суммы двух гауссовых функций плотности с весами p = 0.1, q = 0.9 и среднеквадратическими отклонениями = 1.0, = 4.0 соответственно. Замутненный вариант исходного изображения приведен на рис. 2.1.а, проекция на плоскость модельной ФРТ - на рис. 2.2.а. Результат обработки замутненного изображения алгоритмом пространственного дифференцирования и выделенными градиентными перепадами радиояркостей представлен на рис. 2.1.b. Теперь необходимо декомпозировать весь наблюдаемый спектр градиентных перепадов на взвешенную сумму двух функций плотности, левая из которых является моделью класса "не градиент" (ситуация A₀) и правая – модель класса "градиент" (ситуация A₁). Распределение градиентов при A₀ восстанавливается с помощью аппроксимации Sb Джонсона, и распределение градиентов при условии A₁ - с помощью аппроксимации экстремальных значений Гумбеля. Байесово решающее правило проверки гипотез Н₀ и Н₁, построенное на этих распределениях, выделяет экстремальные градиентные перепады яркостей, рис 2.1.c. Если теперь сканировать интенсивности размытого изображения по срезам, ортогональным выделенным линиям контуров экстремальных перепадов яркостей (рис. 2.1.a), то мы получаем реализации функции размытия края, (2.12), от которых несложно перейти и к ФРТ. На рис. 2.2.b изображена проекция на плоскость восстановленной ФРТ, эти кривые отличаются по квадратичному критерию качества на 5%.