Содержание

      Введение

      1 Простые факторные планы

      2 Простые сравнивающие эксперименты

      Вывод

      Список  использованных источников 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Введение 

      Факторным называется такой план, согласно которому одновременно изучается влияние  на зависимую переменную двух или более факторов. Т. к. несколько факторов рассматриваются в рамках одного плана, то в добавление к возможности оценить их воздействие на зависимую переменную по отдельности (главные эффекты) появляется возможность измерить эффекты их совместного влияния на эту переменную (взаимодействия).

      Дробные 2**(k-p) факторные планы, вероятно, наиболее часто используемые планы в промышленных экспериментах. Предмет рассмотрения любого 2**(k-p) дробного факторного эксперимента включает число исследуемых факторов, число опытов в эксперименте и наличие блоков опытов эксперимента. После этих основных вопросов следует также определить, позволяет ли число опытов найти план требуемого разрешения и степень смешивания для критического порядка взаимодействий, для данного разрешения.

      1 Простые факторные  планы

      Однофакторные планы. Чтобы было легче понять данное выше определение, обсудим сначала план, который не является собственно факторным, а именно однофакторный план. Предположим, исследователь хочет оценить влияние утомления на успешность выполнения определенного теста, используя при этом три группы испытуемых: с низким, средним и высоким уровнем утомления. Т. к. уровень утомления является управляемой или, по крайней мере, контролируемой исследователем переменной, то его называют независимой переменной или фактором данного плана. Применительно к нашему примеру можно сказать, что фактор утомления имеет три уровня, по одному на каждую группу, представленную в плане. В более общем случае единственный фактор в таком плане обозначают буквой А, а его уровни — той же буквой с соответствующими цифровыми индексами: A1, А2, и А3

      Успешность  выполнения теста измеряется у каждого испытуемого и называется зависимой переменной. Обычно цель такого исследования — установить, будет ли зависимая переменная вести себя как функция фактора А. Если различия в успешности выполнения теста между уровнями фактора А будут больше, чем можно было бы ожидать исходя из случайной изменчивости, то мы можем утверждать, что эффект фактора А оказался статистически значимым. Статистическим методом для проверки общей гипотезы о значимости эффекта фактора является дисперсионный анализ. Существуют и методы для проверки более частных гипотез (например, существует ли статистически значимое различие между успешностью выполнения теста на уровнях А3 и A1 или, еще, отличается ли статистически значимо успешность выполнения теста на уровне A3 от успешности, усредненной по уровням А1 и А2).

      Двухфакторные планы. В факторных планах используется более одного фактора. Мы можем переделать наш однофакторный план в настоящий факторный план, добавив еще один фактор. Предположим, что наряду с фактором утомления у нас имеется второй фактор — сложность теста — с двумя уровнями: простой и сложный тест. Говоря в общем, чтобы сделать план двухфакторным, к исходному плану был добавлен второй фактор Б с уровнями Б1 и Б2.

      Такой план, который обычно называют факторным планом 3x2 (поскольку первый фактор имеет три уровня, а второй — два), позволяет изучить эффекты утомления и сложности теста по отдельности и к тому же их совместные или комбинированные эффекты. В плане 3x2 имеется 6 (три на две) групп, по одной на каждую комбинацию уровней. Каждая группа представлена одной ячейкой плана. Например, одна группа в состоянии слабого утомления будет работать с легким тестом; другая группа будет работать с тем же легким тестом, находясь в состоянии сильного утомления, и т. д.

      В целях достижения большей ясности на этом этапе обсуждения можно воспользоваться идеализированным числовым примером. Для этого нам нужно допустить, что: а) каждая группа (ячейка плана) содержит одинаковое число испытуемых и что б) эффекты случайной изменчивости или ошибка измерения сведены к нулю, и потому любые полученные между группами различия обусловлены фактическим воздействием факторов. Число в каждой ячейке плана показывает среднюю тестовую оценку для испытуемых при соответствующем экспериментальном условии.

      Максимально несмешанные 2**(k-p) планы.

      Дробные 2**(k-p) факторные планы часто используются в промышленных экспериментах, так как позволяют сокращать количество используемых данных. Предположим в качестве примера, что инженеру нужно изучить эффект воздействия на производственный процесс 11 переменных факторов, каждый из которых может быть установлен на 2 уровнях. Обозначим число факторов через k, в нашем примере это 11. Эксперимент с полным факторным планом, когда изучаются эффекты каждой комбинации уровней каждого фактора, будет требовать проведения 2**(k) опытов, или 2048 в нашем случае. Для уменьшения объема работ с данными инженер может решить отказаться от рассмотрения эффектов взаимодействий высоких порядков 11 факторов, и вместо этого сосредоточиться только на выявлении главных эффектов 11 факторов и некоторых эффектов взаимодействий низкого порядка, которые могут быть оценены с помощью эксперимента с меньшим, более разумным числом опытов. Существует другая, более теоретическая причина отказа от больших полных факторных 2-х уровневых экспериментов. Обычно нелогично заниматься идентификацией эффектов взаимодействий факторов эксперимента высоких порядков, игнорируя нелинейные эффекты низкого порядка, такие как квадратичные и кубические эффекты, которые не могут быть оценены, если используются только 2-х уровневые факторы. Таким образом, несмотря на то, что практические соображения часто приводят к необходимости экспериментов с малым числом опытов, это логически оправданно для таких экспериментов.

      Альтернативой полного 2**k факторного плана является 2**(k-p) дробный факторный план, который требует только "часть" данных, необходимых для полного факторного плана. В нашем примере с k=11 факторами, если могут быть проведены только 64 опыта, может быть построен 2**(11-5) дробный факторный план для эксперимента с 2**6 = 64 опытами. В сущности, построен полный k - p = 6 факторный план эксперимента с уровнями p факторов, "построенных" по уровням выбранных взаимодействий высокого порядка других 6 факторов. Дробные факторные "жертвуют" эффектами взаимодействий высокого порядка, но эффекты низкого порядка, могут еще быть вычислены корректно. Однако могут быть использованы различные критерии для выбора взаимодействий высокого порядка, используемых в качестве генераторов, среди которых некоторые критерии иногда приводят к различным "лучшим" планам.

      Дробные 2**(k-p) факторные планы могут также содержать блоковые факторы. В некоторых производственных процессах изделия выпускаются "партиями" или блоками. Для того чтобы быть уверенным, что эти блоки не смещают ваши оценки эффектов k factors, блоковые факторы могут быть добавлены в план как дополнительные. Следовательно, вы можете "пожертвовать" дополнительными эффектами взаимодействий для создания блоковых факторов, но эти планы часто имеют большую мощность, т.к. позволяют оценивать и контролировать вариабельность (изменчивость) производственного процесса, вызванную блоковыми различиями.

      Критерий плана.

      Многие  концепции, которые обсуждались  в этом обзоре, также относятся  и к разделу Обзор дробных 2**(k-p) факторных планов. Однако техническое описание построения дробных факторных планов выходит за рамки Вводного обзора. Детальные объяснения, как план 2**(k-p) эксперимента может быть найден, содержатся, например, у Bayne и Rubin (1986), Box и Draper (1987), Box, Hunter, и Hunter (1978), Montgomery (1991), Daniel (1976), Deming и Morgan (1993), Mason, Gunst, и Hess (1989), или Ryan (1989), и существует много других книг по этому предмету.

      Обычно  опция Максимально несмешанные 2**(k-p) планы будет производить последовательный отбор, в зависимости от выбранного критерия поиска, с взаимодействиями высшего порядка в качестве генераторов для p факторов. Для примера рассмотрим следующий план, который включает 11 факторов, но требует только 16 опытов (наблюдений).

      Таблица 1 План из 11 факторов

      План, показанный в таблице 1 результатов, может интерпретироваться следующим образом. Каждый столбец содержит +1 или -1 для обозначения уровня соответствующего фактора (верхнего или нижнего, максимального или минимального). Так в первом опыте все факторы от A до K установлены на верхнем уровне, во втором опыте факторы A, B и C установлены на верхнем уровне, а фактор D – на нижнем уровне, и так далее. Заметим, что установки фактора E для каждого опыта эксперимента могут быть получены как произведение соответствующих установок факторов A, B и C. Следовательно, в этом плане эффект взаимодействия A x B x C не может быть оценен независимо от эффекта фактора E так как эти два эффекта смешаны. Точно так же установки фактора F могут быть получены как произведение соответствующих установок факторов B, C и D. Согласно терминологии, ABC и BCD являются генераторами факторов E и F, соответственно.

      Критерий максимального разрешения плана. План, показанный в таблице 1 результатов, характеризуется как 2**(11-7) план разрешения III (три). Это означает, что вы исследуете всего k = 11 факторов, но p = 7 из них сгенерированы взаимодействиями полного 2**[(11-7) = 4] факторного плана. В результате этот план не дает полного разрешения, то есть существуют некоторые эффекты взаимодействий, смешанные с другими эффектами. В общем случае план имеет разрешение R, когда в нем нет взаимодействий порядка l, смешанных с любыми другими взаимодействиями порядка, меньшего R - l. В нашем примере R равно 3. Здесь нет взаимодействий порядка l = 1 (т.е. главных эффектов), смешанных с любыми другими взаимодействиями порядка меньшего, чем R - l = 3 -1 = 2. Поэтому главные эффекты в этом плане не смешаны друг с другом, но смешаны с двухфакторными взаимодействиями, а следовательно, и с другими взаимодействиями более высокого порядка. Очевидным, но тем не менее очень важным общим критерием плана является то, что взаимодействия высшего порядка, используемые как генераторы, должны быть выбраны так, чтобы план имел максимально возможное разрешение.

      Критерий максимальной несмешанности плана. Максимизация разрешения плана, однако, сама по себе не гарантирует, что выбранные генераторы дают "лучший" план. Для примера рассмотрим два различных плана с разрешением IV. В обоих планах главные эффекты могут быть несмешанными друг с другом, и 2-х факторные взаимодействия могут быть несмешанными с главными эффектами, т.е не существует взаимодействий порядка l = 2, смешанных с любыми другими взаимодействиями порядка меньшего, чем R - l = 4 - 2 = 2. Оба плана могли быть различными, однако, по отношению к степени смешивания 2-факторных взаимодействий. Для планов с разрешением IV "критическим порядком", при котором появляется смешивание эффектов, является 2-факторные взаимодействия. В одном плане не "критического порядка" 2-факторные взаимодействия могут быть несмешанными со всеми другими 2-факторными взаимодействиями, в то время как в другом плане фактически все 2-факторные взаимодействия могут быть несмешанными со всеми другими 2-факторными взаимодействиями. Второй план – это план "почти разрешения V" может быть более предпочтительнее, чем план "просто точно разрешения IV". Это означает, что даже несмотря на то, что главным критерием являлся критерий максимального разрешения, может быть введен дополнительный критерий, по которому выбираются те генераторы, содержащие максимальное число взаимодействий порядка меньшего или равного критическому, для данного разрешения, несмешанных со всеми другими взаимодействиями критического порядка. Этот критерий называется критерием максимальной несмешанности, иначе говоря, дополнительным критерием плана при поиске 2**(k-p) плана.