Исследование свойств системы

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       

Введение

       Система называется вполне управляемой по состоянию, если выбором управляющего воздействия  можно перевести систему из любого начального состояния в произвольное заранее заданное конечное состояние.

       Система называется вполне управляемой по выходу, если выбором управляющего воздействия можно перевести систему из начального состояния в такое конечное состояние, при котором обеспечивается заранее заданное произвольное значение выхода.

       Система называется вполне наблюдаемой, если по реакции системы на выходе призаданном управляющем воздействии можно определить начальное состояние.

       Для анализа выходных процессов мы вовоспользуемся  законом изменения векторов состояния  и выхода.

       

        , где  - переходная матрица, которую находим с помощью теоремы Сильвестра.

       Задание:

       

       u =6;

       u =10. 

       Исследование  свойств системы

       Исследовать наблюдаемость, устойчивость и управляемость  системы автоматического управления. Построить графики изменения переменных состояния и входа и выхода. Начальные условия единичные.

1. Запишем систему в виде:

2. Выделим матрицы  A, B в уравнениях состояния и выхода:

Матрица A составляется из коэффициентов при x. Матрица B

составляется  из коэффициентов при u.

       A=                B=                           n=2, r=2, k =0 где, n – размерность вектора состояний, r – размерность вектора входных воздействий, k-размерность вектора выхода.

3. Составим и решим характеристическое уравнение:

A=

+4=0

       Система не является устойчивой, так как корни характеристического уравнения имеют разные знаки.

4. Составим матрицы управляемости и наблюдаемости:

Матрица управляемости по состоянию:

W= =  

Матрица управляемости по выходу:

P=

Матрица наблюдаемости:

Q=

4) Определим ранги матриц: rangW=2=n, rangP=0=k, rangQ=0 .

       Система является вполне управляемой по состоянию  и по выходу, но не

является  вполне наблюдаемой.  

Анализ  процессов функционирования системы

       Найдем  законы изменения векторов состояния, входа и выхода системы.

1. Найдем переходную матрицу с помощью теоремы Кели-Гамильтона.

       

,         

По  теореме Кели-Гамильтона найдем переходную матрицу:

       

 

2. Найдем законы изменения векторы состояния, входа и выхода:

 = * =

Следовательно:

x(t)=

;

y(t)=

.

Изобразим графики  x(t), y(t). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

График x(t):

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       График  y(t):

 
 
 
 
 
 

Выводы

    В ходе выполнения данного курсового  проекта проведено исследование системы автоматического управления на наблюдаемость, устойчивость и управляемость.

    В результате оказалось, что система  автоматического управления является не устойчивой, но она вполне управляема по состоянию и по выходу. Также  система не является вполне наблюдаемой.

    Анализ  построенных графиков изменения  переменных состояний, входа и выхода показал, что при единичных начальных условиях векторы состояния, входа и выхода возрастают.