Содержание

     ВВЕДЕНИЕ 2

     1. ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 2

     1.1. Предметная область 2

     1.2. Определение актуальности Ошибка! Закладка не определена.

     1.3. Технология обработки информации Ошибка! Закладка не определена.

     1.4. Интерфейсы автоматизарованной системы обработки информации Ошибка! Закладка не определена.

     2. РАБОЧИЙ ПРОЕКТ 2

     2.1. Общие сведения о работе программы 2

     2.2. Функциональное назначение 2

     2.3. Инсталляция и выполнение 2

     2.4. Общий алгоритм программного продукта 2

     2.5. Разработанное меню и интерфейсы 2

     2.6. Сообщения системы 2

     3. Программа и методика испытаний Ошибка! Закладка не определена.

     Заключение Ошибка! Закладка не определена.

     Литература Ошибка! Закладка не определена. 

 

     АННОТАЦИЯ

     Объектом  проектирования является процесс обучения студентов по теме: «Комплексные числа».

     Данная  программа предназначена для  автоматизации следующих задач:

• предоставление теоретической информации;
• демонстрация основных операций с комплексными числами;
• проверка остаточных знаний;

     Разработанная система успешно решает все поставленные задачи. Программа реагирует корректно  на любое действие пользователя. Интерфейс  пользователя ориентирован на минимизацию  ввода информации с помощью клавиатуры.

     В состав программного обеспечения входят:

• подсистема предоставления теоретической информации;
• подсистема демонстрации работы алгоритмов;
• подсистема контрольного тестирования.

Данная  программа разработана в среде Microsoft Visual Studio 2008 на языке C++. Пояснительная записка выполнена с использованием OpenOffice.org Writer 3.1.

 

ВВЕДЕНИЕ

     Использование аппарата комплексных чисел позволяет  решить многие трудные задачи. В  первую очередь они глубоко проникли в теорию алгебраических уравнений, существенно упростив их изучение. Например, один из трудных вопросов для математиков XVII-XVIII веков состоял  в определении числа корней алгебраического  уравнения n-ой степени, т.е. уравнения  вида a0•xn+a1•xn-1+…+an-1•x+an=0. Ответ на этот вопрос, как оказалось, зависит от того, среди каких чисел - действительных или комплексных - следует искать корни этого уравнения. Если ограничиться действительными корнями, то можно  лишь утверждать, что их не больше, чем n. А если считать допустимым наличие  и комплексных решений, то ответ  на поставленный вопрос получается исчерпывающий: любое алгебраическое уравнение  степени n (n>1) имеет ровно n корней (действительных или комплексных), если каждый корень считать столько раз, какова его кратность (а это - число  совпадающих с ним корней). При n>5 общее алгебраическое уравнение  степени n неразрешимо в радикалах, т.е. не существует формулы, выражающей его корни через коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней натуральной  степени.

     После того как в XIX в появилось наглядное  геометрическое изображение комплексных  чисел с помощью точек плоскости  и векторов на плоскости, стало возможным  сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи естествознания, особенно гидро- и аэродинамики, электротехники, теории упругости и  прочности, а также геодезии и  картографии. С этого времени  существование «мнимых», или комплексных  чисел стало общепризнанным фактом и они получили такое же реальное содержание, как и числа действительные. К настоящему времени изучение комплексных  чисел развилось в важнейший  раздел современной математики - теорию функций комплексного переменного

     Целью данного проекта является создание программного обеспечения для демонстрации основных операций с комплексными числами, такими как сложение, вычитание, умножение  и деление.

    Назначением данной системы является автоматизация  процесса обучения студентов с целью  лучшего и скорейшего усвоения учебного материала. 
ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ

1. Предметная  область

     Комплексные числа - это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим  образом определены операции сложения и умножения:

     (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2, y1+y2);

     (x1,y1)•(x2,y2)=(x1•x2 - yiy2, xiy2 + x2y1).

     Действительные  числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначаются символами Rez и Imz соответственно (real - действительный, imanginerum - мнимый).

     Два комплексных числа z1=(x1,y1) и z2=(x2,y2) называются равными только в том случае, когда x1=x2 и y1=y2. Из определения следует, что  всякое комплексное число (x,y) может  быть представлено в следующем виде: (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0). (3)

     Числа вида (х,0) отождествляются с действительными  числами х, т.е. (х,0)=х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i, т.е. (0,1)=i, причем i^2=-1, равенство (3) принимает  вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).

     Операции  сложения и умножения комплексных  чисел имеют следующие свойства:

     а) z1+z2=z2+z1 (поместительный закон или  коммутативность сложения и умножения)

     б) z1z2=z2z1

     в) z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 (сочетательный закон  или ассоциативность)

     г) z1(z2z3)=(z1z2)z3

     д) (z1+z2)z3=z1z3+z2z3 (распределительный закон  или дистрибутивность)

     Вычитание и деление комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 определяют, причем однозначно, их разность z1-z2 и частное z1/z2 как  решения соответствующих уравнений z+z2=z1 и zz2=z1 (при z2>0). Отсюда следует, что  разность и частное от деления z1 на z2 вычисляются по формулам:

     z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2)

     z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22) + i((y1x2-x1y2)/(x22+y22))

     Данное  определение можно выразить в  других терминах, а именно, вычитание - как действие, обратное сложению: z=z1+(-z2), где число (-z2) называется противоположным z2; деление - как действие, обратное умножению: z=z1(z2-1), где z2-1 - число, обратное для z2 (z2?0). Таким образом, анализ определений  и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

• множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай, среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);
• комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений) i^2=-1.

     Если  на плоскости введена декартова  система координат 0xy, то всякому  комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая  точка М(х,у) с абсциссой «х»  и ординатой «у», а также радиус - вектор 0М. При этом говорят, что  точка М(х,у) (или радиус - вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

     Плоскость, на которой изображаются комплексные  числа называется комплексной плоскостью, ось 0у - мнимой осью.

     Число r=vx2+y2-, равное длине вектора, изображающего  комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем  комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

     Из  определения видно, что каждое комплексное  число , имеет бесконечное множество  аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2Pi и  обозначаются единым символом Argz (для  числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

     Каждое  значение аргумента совпадает с  величиной f некоторого угла, на который  следует повернуть действительную ось (ось 0x) до совпадения ее направления  с направлением радиус-вектора точки  М, изображающей число z (при этом F > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и f <0 в противном  случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy есть всякое решение системы  уравнений cos(f)=x/vx2+y2; sin(f)=y/vx2+y2.

     Значение Argz при условии 0<Argz<2Pi называется главным значением аргумента  и обозначается символом argz. В некоторых  случаях главным значением аргумента  считают наименьшее по абсолютной величине его значения.

     Между алгебраическими х, у и геометрическими r, f характеристиками комплексного числа  существует связь, выражаемая формулами x=rcosf, y=rsinf, следовательно, z=x+iy=r(cosf+isinf). Последнее выражение, т.е. z= r(cosf+isinf) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z>0 может быть представлено в тригонометрической форме.

2. Определение актуальности

     В настоящий момент при решении  некоторых математических задач  студенты сталкиваются с комплексными числами. И операции с ними обычно выполняются на листе бумаги. Недостатком  такого метода является то что в  расчетах можно ошибиться, что приведет к неверно решенной задачи, а так  же для получения теоретической  информации требуется обращаться к  сторонним источникам что, в свою очередь, увеличивает время решения  задачи.

     В связи с этим существует потребность  в разработке учебно-демонстрационной программы, позволяющей ускорить и  упростить процесс обучения по данной теме.

3. Описание  технологии обработки  информации

     Система должна выполнять следующие функции:

1. предоставлять доступ к теоретической информации по комплексным числам;
2. проверять качество усвоенного материала;
3. демонстрировать выполнение основных операций с комплексными числами.

     Функция «предоставлять доступ к теоретической  информации по комплексным числам»  запрашивает у пользователя раздел справки который он хочет прочитать  и отображает запрошенную информацию на экране.

     Функция «проверять качество усвоенного материала» задает пользователю ряд вопросов и  оценивает качество усвоенного материала  на основе процента верных ответов  данных пользователем.