Плаирование и обработка многофакторных экспериментов

 

 

1 Исходные данные для выполнения расчетов

     В Научно-производственном объединении  «Белсельхозмеханизация» разработана новая мало затратная технология подготовки кормов к скармливанию на фермах крупного рогатого скота. Корма, которые не нуждаются в обработке (силос, сенаж, сено), скармливают напрямую, а из зернофуража, корнеплодов и белково-минеральных-витаминных добавок готовят обогатительную смесь и балансируют ею рацион животных по питательности, а также с учетом минерального состава местных кормов.

     Ключевым  агрегатом технологической линии  приготовления кормовых добавок  является смеситель предварительно измельченных компонентов обогатительной смеси. Проведены исследования этого смесителя для установления рациональных параметров конструкции и режимов его работы.

     На  первом этапе исследований определена область факторного пространства, в  которой неоднородность смеси (коэффициент вариации ν контрольного компонента в пробах, взятых из приготовленной обогатительной смеси) находится в пределах зоотехнического допуска. В качестве факторов рассматривали частоту вращения вала смесителя n_в, мин^-1. (фактор х₁); ширину полувитков В, м (фактор х₂) и угол установки полувитков смешивающего органа к плоскости, перпендикулярной к оси вала смесителя, а_п, град. (фактор х₃). Уровни варьирования факторов показаны в таблице 3. 

Таблица 3 -Кодирование варьируемых параметров

 

     Требуется используя исходные данные (результаты опытов), построить и проанализировать уравнение регрессии, отражающее зависимость неоднородности смеси у = ν от факторов х₁, х₂ и х₃.

     Для построения и анализа регрессионной  модели используем результаты опытов, выполняемых по плану полного трехфакторного эксперимента и композиционному плану. 
 
 
 
 

 

Таблица 4 -Результаты экспериментов по линейному плану

 
 
 

Таблица 5- Результаты дополнительных опытов по плану второго порядка

 

 

2 Построение и анализ уравнения регрессии при линейном планировании 

     2.1 Статистическая обработка результатов эксперимента 

     Статистическая  обработка  результатов проводится с целью проверки однородности экспериментальным данным.

     Находим среднее построчное значение функции  отклика 

     

 

      

     По  данным параллельных опытов вычисляем  построчные выборочные дисперсии 

     

 

 

с числом степеней свободы ν_n = n-1

     Гипотезу  об однородности дисперсий D_і при одинаковом числе повторностей во всех N вариантах опыта проверяем, используя критерий Кохрена:

     

G=0,3756

полученное  значение должно удовлетворять условию:

     G < G_а,νn,N

где G_а,νn,N – табличное значение критерия при уровне значимости а, числах степеней свободы ν_n и N. В данном примереGкр=0,5157.

     Условие  выполняется, следовательно, экспериментальные данные однородны. 

     2.2 Вычисление коэффициентов  регрессии 

     Определяем  по результатам опытов методом наименьших квадратов, решая относительно неизвестных b₀, b_1,…,b_k систему нормальных уравнений, которая в матричной форме имеет вид: 

     х^Тхb=х^Ту, 

     откуда

     b=сх^Ту 

     где х и х^Т – матрица независимых переменных и соответствующая ей транспонированная матрица;

     b и у – столбцовые матрицы  соответственно коэффициентов регрессии  b_j и результатов опытов ỹ_u;

     с= (х^Тх)^-1 – информационная (ковариационная) матрица, которая является обратной по отношению к матрице системы нормальных уравнений х^Тх.

     В данном примере коэффициенты регрессии  равны: 

 
 
 

     После нахождения коэффициентов регрессии необходимо найти доверительный интервал коэффициентов регрессии ∆b: 

     

где  ty – значение распределения Стьюдента. Для данного примера

      , в данном примере sb=0.1767.

     

где   , в данном примере Db=0,0312.

     Таким образом, проведя все расчеты, получим ∆b=0,375 . Сравниваем, полученные раннее значения коэффициента b_i с ∆b видим, что b₆,коэффициенты меньше ∆b, принимаем его равными нулю.

     Получаем  следующее уравнение регрессии: 

     у=22,236-1,449x₁+8.691х₂+1,059x₃-3,141х₁х₂+0,591х₁х₃ 

     2.3 Проверка адекватности  полученного уравнения 

     Уравнение регрессии адекватно экспериментальным  данным, если  

     F<F_{α;νад;νв} 

     Чтобы оценить ошибку расчетных значений в пределах ошибки воспроизводимости опытов, вычисляем отношение: 

     F=Da/Dy 

где Dу – дисперсия воспроизводимости

     Dy=∑Di/N

       Dа – дисперсия адекватности

     

 

где   - расчетное значение функции отклика и для данного примера равно:

 

     Проведя все вычисления, получим Da=6,03,Dу=0,749 ,F=8,05.

Сравнивая полученное значение F с табличным (Fкр=1,62) делаем вывод, что полученное уравнение не адекватно экспериментальным данным.

     

 
2.4 Проверка приемлемости линейного уравнения