Плаирование и обработка многофакторных экспериментов

     Свободный член линейного уравнения также  характеризует сумму коэффициентов  при квадратичных членах, которые  в случае линейной регрессии полагаем незначимыми. Обоснованность линейного приближения проверяем постановкой опытов в центре плана. Экспериментальные данные в центре плана: у₁=12,5; у₂=13,7 и у₃=12,9

     Линейное  уравнение приемлемо, если разность статически незначима, т.е. выполняется неравенство 

     

<  

     где - средневзвешенное двух дисперсий с числом степеней свободы ;

      - дисперсия  коэффициентов регрессии;

      - дисперсия  среднего значения y_с;

     tv=2,120- критическое значение t - распределения при двустороннем ограничении, доверительном уровне γ и числе степеней свободы ν.

     Проведя все вычисления, получим:

     Db-0,1767

     Dу0с=0,37

     

     s=0,47

     |у0с-b₀|=9,204

            9,204 <0,6746

     Это неравенство неверное, следовательно, линейное уравнение неприемлемо.

 

3 Построение и анализ уравнения регрессии при композиционном планировании 

     3.1 Общие сведения 

     Описание  почти стационарной области вблизи экстремума на поверхности отклика обычно достигается использованием полинома второго порядка, для чего надо составить и реализовать такой план, в котором каждая переменная принимает хотя бы три разных значения. Следуя идее шагового эксперимента, целесообразно использовать так называемое композиционное (последовательное планирование), дополнив уже реализованный план первого порядка некоторым количеством экспериментальных точек, которые расположены определенным образом, а именно: поставив эксперимент в центре плана и в 2k «звездных» точках – вершинах k – мерного аналога октаэдра, координаты которых, если, например, k=3, 

     (±α_k,0,0); (0,±α_k,0); (0,0,±α_k).

     Таким образом, при центральном композиционном планировании общее число опытов

     N_k=2^k+2k+1

из которых  требуется провести дополнительно 2k+1 опыт.

     Величину  звездного плеча α_k, обеспечивающую полную ортогональность плана второго порядка, можно определить, если ввести преобразование

     x_i^’=х_i²

= х_i²-x-_i² 

и прировняв  к нулю скалярное произведение  

     

решив это выражение относительно α_k.

     В общем случае выражение можно  записать в виде 

     N(1-α)²-4 α(α_k²- α)+(N_k-N-4) α²=0

где N и N_k – число строк соответственно плана первого порядка построенного на его основе композиционного плана второго порядка; 

     α=x-_i²=(N+2 α_k²)/ N_k

     Из  уравнения получаем простую формулу  для вычисления величины

звездного плеча:

     α_k²=(-N+

)/2

 

      Составление плана второго порядка иллюстрирует пример матрицы центрального композиционного  ортогонального плана типа 2³ (таблица 6), в которой приняты следующие обозначения: γ₁=- x-_i²=-0,73016; γ₂=1+ γ₁=0,27; величина звездного плеча α_k=1,215; γ₃= α_k²+ γ₁=0,746.

     Опыты с комбинациями факторов, которые  заданы строками 1…8 таблицы 6, представляют собой ПФЭ типа 2³ (таблица 2). Кроме опыта в центре плана (строка 9), дополнительно требуется провести 6 опытов в «звездных» точках строки 10…15 таблица 6. В последней строке таблицы 6, не имеющей отношение к матрице планирования, приведены суммы

     

,

используемые  при вычислении оценок коэффициентов  регрессии по формулам приведенным  выше. 

Таблица 6  Матрица ортогонального плана типа 2³ второго порядка

 

     3.2 Статистическая обработка  результатов эксперимента 

     Статистическая  обработка результатов эксперимента производится аналогично пункту 2.1, исходные данные берутся из таблицы 5 данной курсовой работы.

     По  итогам вычислений получаем следующие  данные: 

 

            среднее построчное значение функции 

 
 
 
 

 
 

дисперсия 

   
 

     

      

     Критерий  Кохрена:

            G=0,337 

     Табличное значение: Gкр=0,5358 

     Вывод: Рассчитанный по экспериментальным данным критерий Кохрена меньше табличного значения, следовательно, экспериментальные данные однородны. 
 
 
 
 
 
 

     3.3 Вычисление коэффициентов  регрессии 

     Вычисление  коэффициентов регрессии производим по формуле: 

     

 

получаем: 
 
 

       
 

     После нахождения коэффициентов регрессии  необходимо найти доверительный  интервал коэффициентов регрессии. Производим следующие вычисления:

     доверительные интервалы коэффициентов регрессии: 

     ∆b₀=2,39

     ∆b₁=0,36

     ∆b₂=0,423

     ∆b₃=0,57 
 

     Сравниваем  полученные ранее значения коэффициентов регрессии с доверительными интервалами, видим, что Δbk11 больше bk₅, bk₆, поэтому принимаем их равным нулю, а число значимых коэффициентов регрессии равным восьми.

     Получаем  следующие уравнение регрессии:

у=19,312-1,52х₁+9,7х₂+1,48х₃-3,52х₁₂+1,26(х₁²-λ)+7,51(х₂²-λ)+1,62(х₃²-λ) 
 

     3.4 Проверка адекватности  полученного уравнения 

     Адекватность  уравнения экспериментальным данным и статистическую значимость его  коэффициентов проверяем так  же, как в случае уравнения регрессии  первого порядка.

     Получаем: