Статистическое изучение пенсионного обеспечения в Амурской области

2.4 Анализ среднего размера назначенных месячных пенсий в Амурской области с помощью расчета средних величин и показателей вариации

Для расчета средней  чаще всего используется средняя  арифметическая взвешенная:

                                                                                       (2.15)

Для решения построим вспомогательную таблицу 8.

 руб.

 

Таблица 8 – Вспомогательная таблица для расчета средних величин

Группы  муниципальных  районов Амурской области по среднему размеру пенсий	Число муниципальных  образований,	Накоплен-ные частоты, S	Середи-на интервала, xi
5421,3 – 5821,7	12	12	5621,5	67458
5821,7 – 6222,1	9	21	6012,9	54116,1
6222,1 – 7423,3	3	24	6822,7	20468,1
7423,3 – 7823,7	3	27	7623,5	22870,5
Итого	27	-	-	164912,7

 

Определим моду. Мода –  наиболее часто встречающееся значение, значит модальным является интервал с самой большой частотой. Максимальная частота в ряду распределения 12, ей соответствует интервал 5421,3 – 5821,7. Шаг модального интервала равен 400,4. По формуле:

                                (2.16)

 рублей

Определим медиану. Медиана  – значение признака, находящееся в середине ранжированного ряда и делящее этот ряд на две равные по численности части. Находим медианные интервал через накопленные частоты.

,

Во втором интервале сумма накопленных частот (21) превышает 14, следовательно интервал 5821,7 – 6222,1 считается медианным. По формуле находим медиану:

                                                         (2.17)

 человек

Следовательно, средний  размер пенсий по муниципальным образованиям области в 2010 году составил 6107,88 рублей на одно муниципальное образование, причем чаще встречаются муниципальные образования, где средний размер пенсии составляет 5741,62 рубля, в 50% муниципальных образованиях области средний размер назначенных месячных пенсий не превышает 6533,52 рубля, а во второй половине муниципальных образований пенсии выше. 

Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

 рублей.

Рассчитаем среднее  линейное отклонение, дисперсию, среднее  квадратическое отклонение и коэффициент  вариации, для этого построим вспомогательную таблицу.

Таблица 9 – Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

Группы  муниципальных районов  Амурской области по среднему размеру  пенсий	Число муниципальных образований,
5421,3 – 5821,7	12	5621,5	67458	-486,38	5836,53	2838760,11
5821,7 – 6222,1	9	6012,9	54116,1	-94,98	854,80	81187,00
6222,1 – 7423,3	3	6822,7	20468,1	714,82	2144,47	1532912,43
7423,3 – 7823,7	3	7623,5	22870,5	1515,62	4546,87	6891332,16
Итого	27	-	164912,7		13382,67	11344191,71

 

Среднее линейное отклонение определяется по формуле:

                                                                                 (2.18)

 рублей

Дисперсия вычисляется  по формуле:

                                                                        (2.19)

.

Найдем среднее квадратическое отклонение.

                                                                                              (2.20)

 рублей

Коэффициент вариации определяется по формуле:

                                                                                          (2.21)

Средний размер пенсий на одно муниципальное образование по  отношению к среднему размеру назначенных месячных пенсий по совокупности колеблется ±648,19 рублей, что составляет 10,61 %. Коэффициент вариации показывает степень однородности совокупности. Так как коэффициент вариации меньше 33,33%, то совокупность можно считать однородной.

2.5 Корреляционно-регрессионный анализ среднего размера назначенных месячных пенсий

В качестве факторного признака возьмем среднюю заработную плату в муниципальных образованиях Амурской области за 2010 год. Построим эмпирическую линию регрессии. Так как независимым признаком является средняя заработная плата, а результативным – средний размер пенсии, то ось Х – средняя заработная плата, ось У – средний размер пенсии. Построим график зависимости (рисунок 5). Для выражения зависимости между признаками можно использовать линейное уравнение регрессии: .¹³

Рисунок 5 – Зависимость между средним размером заработной платы и средним размером назначенных месячных пенсий муниципальных образований Амурской области в 2010 году

Для определения параметров уравнения построим вспомогательную таблицу.

Таблица 10 – Расчет сумм вычисления параметров уравнения прямой по несгруппированным данным

№	Средний размер заработной платы, руб., х	Средний размер пенсии, руб., у	x2	y2	ху
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	14,37	5,72	206,59	32,71	82,20	5,85	-0,13	0,022	0,016
2	12,04	5,81	144,84	33,79	69,96	5,62	0,20	0,034	0,038
3	12,97	5,91	168,15	34,98	76,70	5,71	0,21	0,035	0,043
Продолжение таблицы 10
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	21,93	5,90	481,07	34,75	129,30	6,59	-0,69	0,117	0,476
5	20,68	6,05	427,72	36,56	125,04	6,46	-0,42	0,069	0,174
6	21,14	6,56	447,09	43,03	138,70	6,51	0,05	0,008	0,003
7	21,13	7,37	446,27	54,24	155,59	6,51	0,86	0,117	0,738
8	15,12	6,00	228,65	36,02	90,76	5,92	0,08	0,014	0,007
9	18,20	5,87	331,38	34,47	106,88	6,22	-0,35	0,059	0,122
10	31,61	7,82	999,21	61,21	247,31	7,53	0,29	0,037	0,085
11	17,36	5,76	301,40	33,20	100,04	6,14	-0,38	0,065	0,141
12	15,71	5,63	246,90	31,67	88,43	5,98	-0,35	0,062	0,122
13	15,11	7,45	228,45	55,54	112,64	5,92	1,53	0,206	2,354
14	14,68	5,84	215,55	34,06	85,69	5,88	-0,04	0,007	0,002
15	12,05	5,61	145,16	31,47	67,59	5,62	-0,01	0,001	0,000
16	22,31	5,82	497,58	33,91	129,89	6,62	-0,80	0,137	0,638
17	12,84	5,50	164,86	30,29	70,67	5,70	-0,19	0,035	0,037
18	12,47	5,57	155,46	30,97	69,39	5,66	-0,09	0,017	0,009
19	13,97	5,51	195,14	30,33	76,93	5,81	-0,30	0,054	0,089
20	13,86	5,42	192,10	29,39	75,14	5,80	-0,37	0,069	0,140
21	12,96	5,76	167,83	33,22	74,67	5,71	0,06	0,010	0,003
22	21,76	7,32	473,59	53,65	159,40	6,57	0,76	0,103	0,572
23	13,44	5,48	180,61	29,99	73,60	5,75	-0,28	0,051	0,077
24	23,33	5,89	544,37	34,69	137,41	6,72	-0,83	0,141	0,693
25	12,23	5,91	149,54	34,93	72,27	5,64	0,27	0,046	0,075
26	26,36	7,69	695,06	59,11	202,70	7,02	0,67	0,087	0,449
27	10,03	5,66	100,65	32,07	56,81	5,42	0,24	0,043	0,059
∑	459,67	164,83	8535,23	1020,26	2875,70	164,83	-	1,647	7,160

 

Подставим данные из таблицы  в систему уравнений 2.12:

Освободимся от коэффициентов при параметре a, для чего разделим первое уравнение на 27, а второе – на 459,67

Вычтем из первого  уравнения второе и получим:

тогда

Уравнение регрессии  имеет вид:

 

Параметр уравнения b говорит о том, что при увеличении средней заработной платы на 1 тыс. руб., средний размер назначенных месячных пенсий увеличивается на 0,103 тыс. руб..

Проверим правильность составления уравнения. Для этого  рассчитаем теоретические уровни регрессии. Например, при х = 14,37 , получаем:

и т.д.

Рассчитав все значения заполним столбец  в таблице 10.

Поскольку выполняется  равенство: , то уравнение регрессии составлено верно.

Построим теоретическую линию регрессии (рис. 6).

Показателями тесноты  связи в линейном уравнении регрессии  являются линейный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Определим линейный коэффициент  корреляции:

                                        (2.22)

Таким образом связь  между анализируемыми признаками заметная.

Коэффициент детерминации равен:

Коэффициент детерминации показывает, что на 48,7% вариация среднего размера пенсии в муниципальных образованиях Амурской области обусловлена средней заработной платой в каждом из муниципальных образований, а на остальные 51,3% - другими факторами, неучтенными в данном уравнении.

Для расчета теоретического корреляционного отношения необходимо вычислить дисперсии по формулам 2.22 – 2.24:

общая дисперсия:             

                                                                              (2.23)

остаточная дисперсия:    

                                                                                (2.24)

факторная дисперсия:         

                                                                                     (2.25)

Рассчитаем теоретическое  корреляционное отношение по формуле:

                                                                                               (2.26)

Индекс корреляционной связи вычислим по формуле:

                                                                                       (2.27)

Затем вычислим частный  коэффициент эластичности:

                                                                                              (2.28)

Коэффициент эластичности показывает, что при увеличении средней заработной платы на 1 %, размер средних начисленных месячных пенсий увеличивается на 0,29 %.

Адекватность регрессионной  модели при малой выборке можно оценить критерием Фишера:

                                                                                   (2.29)

где m – число параметров модели;

       n – число единиц наблюдения.

Табличное значение по таблице  значений F-критерия Фишера – при a = 0,05, k₁ = m = 2 (m – число факторов в уравнении линейной регрессии) и k₂ = n – m – 1 = 27 – 2 – 1 = 25 равно 3,38.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует  о статистической значимости уравнения  регрессии, т.е. адекватным.

Значимость коэффициентов  линейного уравнения регрессии  оценивается с помощью критерия Стьюдента:

                                                                                              (2.30)

                                                                                    (2.31)

                                                                                        (2.32)                                 

     

Вычисленное t сравним с табличным значением при принятом уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы равное 27-2=25. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,0595.

Фактические значение критерия больше табличного, что свидетельствует  о значимости линейных коэффициентов  корреляции и существенности связи между средним размером заработной платы и средним размером назначенных месячных пенсий.

Проведем оценку коэффициента корреляции с помощью t-критерия:

                                                                                          (2.33)