Задачи статистика

     Для графического изображения построенных рядов применяются гистограммы и полигоны. Сначала построим гистограммы, для чего на оси абсцисс отложим величины интервалов, а частоты изобразим в виде прямоугольников, построенных на соответствующих интервалах. Затем гистограммы преобразуем в полигоны, для чего середины верхних сторон прямоугольников соединим отрезками прямой, и две крайние точки прямоугольников замкнем по оси абсцисс на середине интервалов, в которых частоты равны нулю. Гистограммы и полигоны построенных рядов распределения представлены на рисунках 1.1, 1.2, 1.3, 1.4

     Для графического изображения построенных  рядов распределения используется также кумулята. При построении кумуляты по оси абсцисс откладываются  варианты ряда, а по оси ординат  – накопленные частоты, которые  наносят на график в виде перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Эти перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту. Кумулята строится, начиная с нуля, непрерывно поднимается над осью абсцисс до тех пор, пока не достигнет высоты, соответствующей общей сумме частот. Если поменять местами оси координат у кумуляты, то получим новый график – огиву. Кумуляты представлены на рис. 1.5 и 1.6, а огивы на рис. 1.7 и 1.8.

рис.1.1  Гистограмма распределения предприятий по возрасту оборудования

Рис 1.2. Гистограмма распределения предприятий по затратам на ремонт оборудования 

Рис.1.3 Полигон распределения предприятий по возрасту оборудования

Рис.1.4 Полигон распределения предприятий по затратам на ремонт оборудования

Рис.1.5. Кумулята распределения предприятий по возрасту оборудования 

Рис 1.6 Кумулята распределения предприятий по затратам на ремонт оборудования

Рис.1.7 Огива распределения предприятий по возрасту оборудования

Рис.1.8 Огива распределения предприятий по затратам на ремонт оборудования 

 

    2. Оценка однородности совокупности

     Рассчитаем  показатели вариации признаков:

А) Абсолютные (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение), для чего составим вспомогательные  таблицы 1.3 и 1.4.

Размах вариации, т.е. разность между наибольшим и  наименьшим значениями признака, рассчитывается по формуле:

R = x_max – x_min    

     R₁ = 11 – 1 = 10 лет

     R₂ = 7,7 – 0,1 = 7,6 тыс. руб.

     Рассчитаем  среднюю арифметическую взвешенную для каждого признака (т.к. отдельное значение совокупности встречается не один, а много, причем неодинаковое число раз, т.е. представляют собой ряд распределения) по формуле:

х_ср =  å(x_i*f_i)/åf_i,

где x_i – середина интервалов.

Таблица 1.3 - Таблица расчета показателей вариации по возрасту оборудования

Таблица 1.4 - Таблица расчета показателей вариации по затратам на ремонт оборудования

     х_cp1 = 163,685/30 = 5,46 лет

     х_cp2  = 88,19/30 = 2,94 тыс. руб.

     Далее найдем среднее линейное отклонение по формуле:

d_cp = å êx_i - x_cpç* f_i / å f_i

Тогда

     d_cp1 = 70,66/30 = 2,36 лет

     d_cp2 = 49,45/30 = 2,94 тыс. руб.

       Эти отклонения по сравнению со средними величинами признаков незначительны. Это свидетельствует о том, что данная совокупность предприятий в отношении признаков однородна, причем эта совокупность более однородна в отношении первого признака (выпуска продукции).

     Найдем  дисперсию (представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений  признака от их средней величины) по формуле:

 s² =å ((x_i –x_cp)²)* f_i /å f_i       

     s²₁ = 228,96/30 = 7,632 лет

     s²₂ = 109,45/30 = 3,648 тыс. рублей

     Рассчитаем  среднее квадратическое отклонение по формуле:

s = Ö s²

Тогда s₁ = Ö 7,632 = 2,76 лет

           s₂ = Ö 3,648 =1,91 тыс. рублей

     Б) Относительные (коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации и  коэффициент вариации), для чего поделим абсолютные показатели вариации на среднюю арифметическую (взвешенную) и выразим их в процентах.

     Коэффициент осцилляции найдем по формуле:

K_осц = R/x_cp*100%

     К_осц1 = 10/5,46*100% = 183,1%                                 

     К_осц2 =  7,6/2,94*100% = 258,5%                                        

     Линейный коэффициент вариации вычислим по формуле:

К_{лин. вар.} = d_cp/x_cp*100%

     К_{лин. вар.} = 2,36/5,46*100% = 43,22%                                              

     К_{лин. вар.} =  2,94/2,94*100% = 100%                                                                 

     Коэффициент вариации рассчитаем по формуле:

К_вар =  s/x_cp*100%

     К_вар1 = 2,763/5,46*100% = 50,6%                            

     К_вар2 = 1,91/2,94*100% = 64,96%                             

     Т.к. К_вар больше 33%, то можно сделать вывод, что совокупность не является однородной.

     3. Оценка характера распределения  совокупности исходных данных  с помощью средней, моды, медианы,  показателей вариации. Вывод о  характере распределения.

     Для наиболее полной оценки характера распределения  совокупности данных можно использовать другие виды средних величин – моду и медиану.

     Мода (М_о) – значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

     Найдем  моду по формуле:

М_о = x_o + h*(f_Mo – f_Mo-1)/((f_Mo – f_Mo-1) + (f_Mo – f_Mo+1)),

где х_о – нижняя граница модального интервала;

       h – Величина модального интервала;

       f_Mo – частота модального интервала;

       f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

       f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным

     Третий  интервал для первого признака (возраст оборудования) является модальным. Поэтому рассчитаем моду для этого интервала

М_о1 = 6,01+1,67*((6-8)/(6-8)+(6-9) =12,69 лет

     Значит, чаще всего в совокупности встречается  значение признака (возраст оборудования), равное 12,69 лет

     Рассчитаем  моду для второго признака (затрат на ремонт оборудования). Здесь четвёртый интервал является модальным.