Лекции по "Теплотехнике"

Лекція 3.

Рівняння  переносу імпульсу та його аналіз. Часткові випадки.

Умови однозначності

Рівняння  переносу імпульсу та його аналіз. Часткові випадки. Рівняння руху (Навьє - Стокса)

 

     

     Рисунок 1. До розгляду рівняння руху 

     Рівняння  руху відображає другий закон Ньютона: зміна кількості руху елемента середовища дорівнює сумі всіх сил, діючих на елемент. Розглянемо виділений в одномірному  потоці рідини елемент об’єму , дивись рисунок 1.

     На  елемент діє сила тяжіння різнична сила тиску , так як на верхній грані елементу тиск рідини дорівнює p, то на площадку діє сила

     На  нижній грані тиск з точністю до другого члена розкладу в ряд Тейлора дорівнює і на цю грань діє сила .

     Знак  “ − “ вказує на те, що сила діє  проти напрямку руху рідини.

     Рівнодіюча  сил тертя  визначається далі. Так як швидкість змінюється тільки в напрямку вісі ОУ, то сила тертя виникає на бокових гранях елементу рідини. Біля лівої грані швидкість руху частинок рідини менша, ніж у самому елементі, тому у перерізі сила тертя направлена проти руху і рівна . Біля правої грані, навпаки, швидкість руху частинок рідини більша, ніж у самому об’ємі, тому в перерізі сила тертя направлена в сторону руху.

     Рівнодіюча  всіх цих сил рівна:

.        (1)

     З іншої  сторони, згідно з законом Ньютона  ця рівнодіюча сила рівна:

.          (2)

     Підставляючи  цей вираз у (1), отримаємо:

.          (3)

     Так як швидкість  є функцією часу і координат, які в свою чергу залежать від часу, то, застосовуючи правило диференціювання складної функції, отримаємо:

.       (4)

     До  отриманого рівняння необхідно додати рівняння, яке зв’яже виникаючі в рідині при її русі напруги з градієнтом швидкості, (Реологічне рівняння). Для рідин, які підкоряються закону Ньютона, це рівняння має вигляд:

,          (5)

     де m - коефіцієнт динамічної в’язкості рідини.

     Підставивши (26) і (25), отримаємо:

.      (6)

Рисунок.2. До розгляду поля швидкості 

Коментар:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

     Стиснення рідин.

     Ізотермічним стисненням або коефіцієнтом стиснення тіла при t = const. називають величину , яка являє собою відносну зміну густини речовини при зміні тиску.

     Для крапельних рідин ізотермічне стиснення  занадто мале. Так, наприклад, для води 1/Па, отже, підвищення тиску на 0,1 МПа викликає відносну зміну густини на 1/2000. Теж саме має місце і для інших крапельних рідин, що дозволяє знехтувати для них ізотермічним стисненням.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  

     Поле  швидкостей є полем векторної  величини, в якому кожна з проекцій може змінюватись вздовж всіх координатних вісей, рисунок 2. Тому в загальному випадку трьохмірної течії, рівняння руху записується для кожної з проекцій і має вигляд:

(6)

(7)   (8)

     Ці  рівняння називаються рівняннями Навьє-Стокса.

     Розмірність кожного доданку Н/м³, тому ці доданки представляють собою сили діючі на одиницю об’єму рідини. При цьому перший член (локальний) рівняння характеризує нестаціонарність процесу, сили зв’язані зі зміною швидкості у часі в даній точці, а другий член – конвек тивний, відповідно, сили зв’язані з переміщенням рідини (сили інерції). Третій член рівняння характеризує сили тяжіння, четвертий – сили тиску (джерело змушеної течії) і п’ятий – сили в’язкості у рідині. Слід зазначити, що рівняння руху записано для нестисненої рідини. У рівнянні руху з’явився новий невідомий – тиск. Для того, щоб замкнути систему рівнянь, необхідно додати ще рівняння нерозривності.

  Математична модель  конвективного теплообміну.  Умови однозначності

 

     Система рівнянь енергії, руху і нерозривності  описує процес конвективного теплообміну  і в скороченому записі має вигляд:

;           (9) 

;        (10) 

;        (11) 

;        (12) 

.        (13)

     Ця  система рівнянь справедлива тільки для ламінарної течії рідини. Турбулентна течія суттєво відрізняється від ламінарної, наявністю пульсацій рідини у поперечному напрямку. Характерна картина пульсації швидкості і температури у розглянутій точці потоку при зміні часу приведена на рисунку 3.

                  

Рисунок 3. До розгляду турбулентної течії 

     Таким чином, конвективне перенесення  механічної і теплової енергії при  турбулентному русі рідини, складається  з осередненого і пульсаційного  переносу, причому, пульсаційні складові залежать від тих же факторів, що й поле осереднених швидкостей і температур. Тому для аналізу також використовують систему рівнянь (9)…(13), в які підставляються осереднені у часі швидкості і температури, а пульсаційні складові враховуються введенням коефіцієнтів турбулентного переносу, які визначаються експериментально.

     Приведена система рівнянь описує нескінченну  множину процесів. Для її розв’язання  у кожному конкретному випадку  потрібно додати умови однозначності. Умови однозначності дають математичний опис усіх особливостей явища. Ці умови складаються з:

     а) геометричних умов, характеризуючих  форму і розміри об’єму, який розглядаємо;

     б) фізичних умов, характеризуючих фізичні  властивості середовища (в’язкість m, теплопровідність l, густина r і т. д.);

     в) початкових умов, характеризуючих поля швидкостей і температур у початковий момент часу;

     г) граничних умов, характеризуючих  особливості протікання процесу  на границі середовища.

     При розв’язанні рівнянь гідродинаміки  дуже часто використовують умову прилипання, тобто рівність нулю швидкості рідини біля твердої поверхні. При розв’язанні рівняння енергії можуть бути задані наступні граничні умови:

1. Граничні умови першого роду, коли задається значення температури на поверхнях, обмежуючих середовище. Задається розподілення температури на поверхні тіла для кожного моменту часу:

,          (14)

де  - температура на поверхні тіла;

x,y,z - координати поверхні  тіла.

     У окремому випадку, коли температура на поверхні є величиною постійною протягом усього часу протікання процесів, то рівняння (14) спрощується і набуває вигляд .

2. Граничні умови другого роду, коли на поверхнях заданий тепловий потік, . У найпростішому випадку .
3. Граничні умови третього роду, у яких припускається, що тепловий потік на поверхнях пропорційний різниці температур поверхні і рідини, тобто характеризує закон теплообміну між поверхнею і навколишнім середовищем у процесі охолодження або нагрівання тіла.

 

,        (15)

де n- нормаль до поверхні тіла;

(гран) - вказує  на те, що градієнт відноситься  до поверхні тіла (при n=0).

.         (16)

4. Граничні умови четвертого роду застосовуються, коли на межі двох середовищ тепло передається теплопровідністю.

 

.         (17)

           Таким чином, система рівнянь (9)…(13) разом з умовами однозначності  описує конкретні задачі конвективного  теплообміну, які можуть вирішуватись аналітично, лічильними методами або методами теорії подібності.