Лекции по "Теплотехнике"

     Лекція 7.

     Теплопровідність  при граничних  умовах третього роду. Основне рівняння теплопередачі та його аналіз

     Граничні  умови третього роду. Теплопередача

 

     Розглянемо  випадок, коли пластина з двох сторін омивається рідиною, рисунок 1.

     Передача  теплоти з одного середовища (рідини або газу) до другого через розділяючу їх однорідну або багатошарову стінку будь-якої форми, називається теплопередачею. Теплопередача включає в себе тепловіддачу від більш гарячої рідини до стінки, теплопровідність у стінці, тепловіддачу від стінки до більш холодного середовища.

     

Рисунок 1. До розгляду процесу теплопередачі 

     Нехай плоска однорідна стінка має товщину d. Задані коефіцієнти теплопровідності стінки l, температури навколишнього середовища t_р1 і t_р2, а також коефіцієнти тепловіддачі a₁,a₂; будемо вважати, що величини t_р1, t_р2; a₁,a₂   – постійні і не міняються вздовж поверхні. Це дозволяє розглядати зміну температури рідин і стінки тільки у напрямку, перпендикулярному площині стінки.

     При заданих умовах необхідно знайти тепловий потік від гарячої рідини до холодної і температури на поверхні стінки.

     Питомий тепловий потік від гарячої рідини до стінки визначається рівнянням

.

     При стаціонарному тепловому режимі той же питомий тепловий потік  обумовлений теплопровідністю через тверду стінку,

.

     Тепловий  потік передається від другої стінки до холодної рідини за рахунок  тепловіддачі:

,

тобто можна записати, що

.      (1)

     Розв’язуємо систему рівнянь (54) відносно термічних опорів ; ; ;

          (2)

     Додаючи ліві і праві частини системи  і розв’язуючи отриманий вираз  відносно q, знаходимо

       (3)

     Величина  називається коефіцієнтом теплопередачі і має розмірність Вт/(м²К). Загальна кількість тепла, яка передана через стінку дорівнює:

.         (4)

     Рівняння (11) називається основним рівнянням  теплопередачі, так як зв’язує теплове  навантаження апарату Q з поверхнею  теплообміну F.

     Коефіцієнт  теплопередачі характеризує інтенсивність  переносу тепла від одного середовища до іншого через розділяючу стінку і чисельно дорівнює кількості теплової енергії, яка передається від одної рідини до іншої через одиницю поверхні розділяючої стінки, в одиницю часу і при різниці між температурами рідин, рівній одному градусу. Слід відмітити, що коефіцієнт k завжди менше меншого коефіцієнта тепловіддачі, тому для інтенсифікації теплообміну слід збільшувати менший коефіцієнт a.

     Величина, обернена коефіцієнту теплопередачі, називається повним термічним опором теплопередачі. 

,

     Із  системи рівнянь:

       (5)

     можемо  знайти температури стінок:

;

.

     P. S. Для тонких металевих стінок  величина d/l дуже мала, тому

           (6)

     При розв’язання задач відношення і звичайно невідомі і знаходяться методом послідовних наближень.

  Теплопровідність  необмеженої циліндричної  стінки

Граничні  умови першого  роду

 

     Розглянемо  стаціонарний процес теплопровідності у циліндричній стінці (трубі) з внутрішнім діаметром D₁=2R₁ і зовнішнім діаметром D₂=2R₂. На поверхнях стінки задані постійні температури t_c1 і t_c2. В заданому інтервалі температур коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки l є величиною постійною.

     Необхідно знайти розподілення температур у циліндричній стінці і тепловий потік через неї.

                              

Рисунок 2. Розрахункова схема 

     У даному випадку для тіл обертання  задачу зручно розв’язувати у циліндричній системі координат. Рівняння теплопровідності в цьому випадку має вигляд:

.       (7) 

     Розрахункова  схема приведена на рисунку 3. Вважаємо, що довжина циліндру достатньо велика і відведенням тепла з торців можна зневажити ( ), задача стаціонарна ( ) і вісесиметрична ( ). Тоді рівняння енергії набуває вигляду:

.          (8)

     Інтегруючи  двічі рівняння (15) і визначаючи постійні інтегрування С₁ і С₂, з граничних умов  t(R₁)=t_C1 і t(R₂)=t_C2 , отримаємо рівняння температурного поля у циліндричній стінці

.         (9)

     P.S. Коментар  по знаходженню рівняння температурного  поля.

     Введемо нову змінну

,           (а)

тоді            (б)

           (в)

     Підставивши (а), (в) у (61) отримаємо:

          (г)

     Інтегруючи, отримаємо       (д)

     Потенціюючи рівняння (д) і переходячи до початкових змінних отримаємо

.           (е)

     Після інтегрування

знаходимо С₁ і С₂

                  при r = R₁   t = t_c1=C₁ lnR₁ + C_2;

                  при r = R₂   t = t_c2=C₁ lnR₂ + C_2;

     З вище сказаного

   .     (ж)

     Звідси

.         (10)

     Кількість тепла Q, яка проходить через стінку труби довжиною , визначається згідно закону Фур’є:

.        (11)

     Диференціюючи (10) по r і підставляючи отриманий  вираз у (11), знаходимо: (вважаючи, що )

.         (12)

     Питомий тепловий потік, віднесений до одиниці  поверхні стінки труби:

         (13)

залежить  від діаметру, тому більш зручно тепловий потік відносити до одиниці  довжини труби:

, [Вт/м]        (14)

і називається  лінійною густиною теплового потоку. Як бачимо з рівняння, при незмінному відношенні (D₂/D₁) лінійна густина теплового потоку не залежить від поверхні циліндричної стінки. Густина теплового потоку q₁ і q₂ (віднесені до внутрішньої та зовнішньої поверхонь) при передачі теплоти через труби неоднакова, причому q₁>q₂.

     Величина  називається термічним опором циліндричної стінки.

Граничні  умови третього роду (теплопередача)

 

     Розглянемо  однорідну циліндричну стінку (трубу  з постійним коефіцієнтом теплопровідності l). Задані постійні температури рухомих середовищ t_р1 і t_р2 і постійні значення коефіцієнтів тепловіддачі на внутрішній і зовнішній поверхні труби a₁ і a₂ (рисунок 3). Необхідно знайти і . Будемо вважати, що довжина труби велика у порівнянні з товщиною стінки. Тоді втратами теплоти з торців труби можна знехтувати і при сталому тепловому режимі буде проходити через стінку і віддаватись від стінки до холодної рідини одна й та сама кількість теплоти. 

     

     Рисунок 3. Розрахункова схема 

     Розрахункова  схема приведена на рисунку 3. Аналогічно, як і для плоскої стінки, можемо записати наступне рівняння:

.   (15)

     Розв’язуючи систему рівнянь відносно термічного опору

 і складаючи одержані рівності, знаходимо:

.     (16) 

     Величина називається коефіцієнтом теплопередачі для циліндричної стінки. Слід відмітити, що при розрахунку апаратів для тонкостінних труб можна знехтувати кривизною і коефіцієнт теплопередачі розраховувати по рівнянню для плоскої стінки.

  Нестаціонарна теплопровідність

 

     Такі  процеси теплопровідності, коли поле температур в тілі змінюється не тільки у просторі, але і в часі, називаються нестаціонарними. Вони мають місце при нагріванні (охолодженні) різних заготовок і виробів, виробництві скла, обпалі цегли, вулканізації резини, запуску і зупинці різних теплообмінних пристроїв, енергетичних установок і т.д.

     Серед практичних задач нестаціонарної теплопровідності важливе значення мають дві групи  процесів:

1. тепло прагне до теплової рівноваги;
2. температура тіла періодично змінюється.

           Для прикладу, розглянемо процес охолодження необмеженої пластини при граничних умовах третього роду. Розрахункова схема приведена на рисунку14.Припустимо, що задача симетрична (охолодження з обох сторін однакове) і відомі температура рідини t_р і коефіцієнт тепловіддачі a, а в початковий момент температура по всьому об’ємі пластини однакова і рівна t₀. Тепло передається тільки вздовж вісі Х :  .

                                     

Рисунок 4. Розрахункова схема 

     Тоді  диференційне рівняння енергії набуває вигляд:

.           (17)

     Відповідно  граничні умови:

при ,    ;       (18)

при     ;     (19)

при      .       (20)

     Умова (20) означає, що в силу симетрії процесу  дотична до профілю при х=0 (т. А, рисунок 4) паралельна вісі Х.

     Розв’язуючи рівняння (17) при граничних умовах (18)…(20), отримаємо рівняння, котре  описує температурне поле пластини:

,    (21)

де  - безрозмірна температура;

- безрозмірна координата;

 безрозмірний час (F₀ - критерій Фур’є);

- корені тригонометричного рівняння: .

     Безрозмірний  параметр (l - теплопровідність пластини) називається критерієм Біо. Декілька слів про кр. Біо.

     Критерій  Біо, характеризує подібність процесів нестаціонарної теплопровідності. Коефіцієнт тепловіддачі a, який входить у критерій Ві, не є шуканою величиною, а задається умовами однозначності. Величина l у критерії Ві являє собою коефіцієнт теплопровідності не рідини, а твердого тіла.

     Критерій  Ві характеризує постійність відношення внутрішнього термічного опору теплопровідності до зовнішнього термічного опору  тепловіддачі. Аналіз рішення показує, що всі температурні криві перетинаються  у точках віддалених від поверхні пластини на відстань , рисунок 5 а). .

           а)     б)    в)

Рисунок 5. Температурні криві 

     Якщо  (рисунок 5 б)), що має місце при малих a, то і характер кривих наближається до прямих, паралельних вісі Х, превалює зовнішня задача. В цьому випадку створюється можливість інтенсифікації процесу охолодження за рахунок збільшення a. Якщо то (рисунок 5 в). В цьому випадку охолодження настільки інтенсивне , що температура поверхні відразу ж стає рівною температурі рідини і процес охолодження визначається тільки теплопровідністю і розмірами пластини. Інтенсифікація теплообміну на поверхні практично не впливає на швидкість процесу всередині тіла. Далі ми більш детально розглянемо теорію подібності і ознайомимося з іншими критеріями подібності.