Задачи по "Экономической теории"

    Задача

    По  предприятиям легкой промышленности региона  получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

    Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

    Привести  графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

 
 
    

1. Найдем параметры уравнения линейной регрессии, дадим экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

    Уравнение линейной регрессии имеет вид: .

    Значения  параметров а и b линейной модели определим, используя данные таблицы 1.1.

    

 

    

92,2-2,314´40,6= -1,04 

    Уравнение линейной регрессии имеет вид: = - 1,04 + 2,314x.

    С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции  увеличиться в среднем на 2,314 млн. руб. Это свидетельствует об эффективности  работы предприятия. 

    

2. Вычислим  остатки; найдем остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.

 

    Остатки см. табл. 1.1 столбец

    Остаточная  сумма квадратов  =39,63

    Дисперсия остатков

    

 

    

3. Проверим выполнение предпосылок МНК.

 

    Проверка  выполнения предпосылок МНК выполняется  на основе анализа остаточной компоненты.

• случайный характер остатков
• нулевая средняя величина остатков, не зависящая от x_i
• гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x
• отсутствие автокорреляции остатков
• остатки подчиняются нормальному распределению

 
    

• случайный характер остатков

    С этой целью строится график зависимости  остатков e_i от теоретических значений результативного признака

    

    На  графике получена горизонтальная полоса, значит, остатки e_i представляют собой случайные величины и МНК оправдан. 

    

• нулевая средняя  величина остатков, не зависящая от x_i

    С этой целью строится график зависимости остатков e_i от факторов, включенных в регрессию x_i.

    

    Остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, значит, они не зависимы от x_i. 

    Проверка  равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей  нулевой гипотезы H_0: . С этой целью строится t-статистика , где _.

    

 

t=0 2,26 (α = 0,05; =n-1=9) гипотеза принимается. 

 
    

• гомоскедастичность  – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений x

    Коэффициент Спирмена:

    

, где

t-статистика: - 0,219 < t_крит., следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности при пятипроцентном уровне значимости принимается 

    Гомоскедастичность  присутствует 

    Независимость остатков проверяется с помощью  критерия Дарбина – Уотсона.

    

    

    

    Верхние (d₂=1,36) и нижние (d₁=1,08) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели.

    Если 0<d<d₁, то уровни автокоррелированы, т.е зависимы, модель неадекватна.

    Если  d₁<d<d₂, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).

    Если  d₂<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

    В нашем случае d₁<d<d₂, следовательно, необходимо рассчитать первый коэффициент автокорреляции:

    

      предпосылка не выполняется. 

    Проверка  нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими уровнями 2,67-3,57.

    Рассчитаем  значение R/S:

    R/S = (E_max - E_min)/ S, где

     

    E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

    E_max  - максимальное значение уровней ряда остатков E(t)

    S - среднее квадратическое отклонение. 

    Так как  2,67<3,09, 3,09<3,57, полученное значение R/S попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

    Таким образом, предпосылки МНК выполняются, кроме проверки на независимость остатков.