Маколеева продолжительность и ее использование в качестве облигационного риска

- средняя продолжительность платежей по бессрочным облигациям равна величине LVD, независимо от величины ставки купона;

- дюрация купонной облигации, приобретенной по номиналу или с премией, монотонно возрастает вместе с увеличением срока погашения и приближается к своему предельному значению – LVD, по мере приближения срока погашения к бесконечности, т.е. при n ® ¥ , D ® LVD; ;

- дюрация купонной облигации, приобретенной с дисконтом, достигает своего максимума прежде, чем срок погашения приблизится к бесконечности и затем снижается по направлению к величине LVD.

      Однако  главная ценность дюрации состоит в том, что она приблизительно характеризует чувствительность цены облигации к изменениям процентных ставок на рынке (доходности к погашению) . Таким образом, используя дюрацию можно управлять риском, связанным с изменением процентных ставок.

      В общем случае, процентный риск облигации  может быть измерен показателем эластичности ее цены P по отношению к рыночной ставке r. Пусть r = YTM, тогда эластичность EL можно определить по формуле:

 

      Поскольку между ценой облигации и ее доходностью к погашению существует обратная зависимость, величина EL будет всегда отрицательной. Из (4) следует, что:

 

      Если  r = YTM, то ее величина может быть определена из (2). Применив дифференцирование можно показать, что:

 

Откуда:

 

      Из  (5) и (7) следует, что EL = D, т.о. дюрация характеризует эластичность цены облигации к изменениям ее доходности.

Преобразуем правую часть (7) следующим образом:

 

      Величина, заключенная в квадратные скобки, получила название модифицированной дюрации (modified duration – MD):

 

      Тогда:

 

      Формулу (10) часто используют для определения приблизительного изменения цены облигации исходя из предполагаемого изменения доходности к погашению

 

       
 
 

       

      3 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ 

      Задача 5.19 (вариант 8)

      Определить  оценки трех инвестиционных портфелей (доходность и риск), сформированных из трех финансовых активов. Доходность финансовых активов X, Y, Z в зависимости от  состояния экономики представлены таблице.

Таблица 2 - Прогнозируемая доходность финансовых активов в   зависимости  от состояний экономики (1–спад, 2 – подъем, 3 – стагнация)

 

Доли  вложений в финансовые активы следующие: , , .

      РЕШЕНИЕ 

      1. Определение ожидаемую доходность  портфеля (r) 

      Определим ожидаемую доходность портфеля (r), сформированного из трех  финансовых активов X, Y, Z, причем доля вложений принята инвестором соответственно в следующем порядке  , , Расчет ожидаемой доходности портфеля (r) представим в виде таблицы

      Прогнозируемые  значения доходности финансовых активов (ФА) и субъективные вероятности, соответствующие трем состояниям экономики (например, спад, стагнация, подъем) указаны в таблице . 

Таблица 3- Расчет ожидаемой доходности инвестиционного портфеля,                     сформированного из трех финансовых активов

 

      При заданных значениях d₁, d₂, d₃ доходность портфеля составила  соответственно    

      1.2 Определение риска портфеля 

      Определим риск портфеля ( ),сформированного из трех  финансовых активов X, Y, Z, причем доля вложений d₁, d_2,, d₃ принята инвестором соответственно в следующем порядке  , , .

        Риск портфеля ФА определяется  по критерии дисперсии ожидаемой доходности и рассчитывается по формуле:

 

      В развернутом виде формула для  портфеля из 3 финансовых активов принимает вид:

      Или

 

      Расчет  дисперсий (уровня риска) ФА приведен в  таблице .

Таблица 4 - Дисперсии доходностей финансовых активов X, Y, Z

 

     Требуемые для оценки риска портфеля показатели ковариации доходностей ФА рассчитываются в таблице . 

Таблица 5 -   Расчет показателей ковариации доходностей ФА