Инженерная и компьютерная графика.Теория построения чертежей

    Если  задаются три координаты точки,  то этим определяется ее положение  в пространстве.

7.   Проекции отрезка прямой линии

 

     Положим, что даны фронтальные и  горизонтальные проекции точек А и В (рисунок 10). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы получим проекции отрезка АВ – фронтальную (А₂В₂) и горизонтальную (А₁В₁).

    Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей π_1, π₂, π₃, т.е. прямая АВ не параллельна ни одной из них и не перпендикулярна к ним. Такая прямая называется прямой общего положения. Здесь каждая из проекций меньше самого отрезка А₁В₁<АВ, А₂В₂<АВ, А₃В₃<АВ.

    Прямая  линия может занимать относительно плоскостей особые (частные) положения. Рассмотрим их.

    1. Прямая параллельна плоскости π₁ (рисунок 11). В этом случае фронтальная проекция прямой параллельна оси проекции, а горизонтальная проекция равна самому отрезку (А₂В₂║ОХ, А₁В₁=│АВ│). Такая прямая называется горизонтальной и обозначается буквой “h”.

    2. Прямая параллельна плоскости π₂ (рисунок 12). В этом случае ее горизонтальная проекция параллельна оси проекции (С₁D₁║ОХ), а фронтальная проекция равна самому отрезку (С₂D₂=│CD│). Такая прямая называется фронтальной и обозначается буквой “f”.

    

    3. Прямая параллельна плоскости π₃ (рисунок 13). В этом случае горизонтальная и фронтальная проекции прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции ОХ, а ее профильная проекция равна самому отрезку, т.е. Е₁К_1┴ОХ, Е₂К_2┴ОХ, Е₃К_3┴ЕК. Такая прямая называется профильной и обозначается буквой “p”.

          4. Прямая параллельна  двум плоскостям – π₁ и π₂. Тогда она будет перпендикулярна плоскости π₃ (рисунок 14). Проекция прямой на плоскости π₃ представит собой точку (А₃≡В₃), а проекции на плоскостях π₁ и π₂ будут параллельны оси ОХ (А₁В₁║ОХ, А₂В₂║ОХ).

  

          5. Прямая параллельна  плоскостям π₁ и π₃, т.е. она перпендикулярна плоскости π₂ (рисунок 15). Проекция прямой на плоскости π₂ представит собой точку (С₂≡D₂), а проекции на плоскостях π₁ и π₃ будут параллельны осям У и У, т.е. перпендикулярны осям Х и Z, (C₁D_1┴OX, C₃D_3┴Z).

          6. Прямая параллельна  плоскостям π₂ и π₃, т.е. она перпендикулярна плоскости π₁ (рисунок 16). Здесь проекция прямой на плоскости π₁ представит собой точку (Е₁≡К₁), а проекции на плоскостях π₂ и π₃ будут перпендикулярны оси ОХ и ОУ соответственно (Е₂К_2┴ОХ, Е₃К_3┴ОУ).

8.   Точка на прямой

 

    Если  точка принадлежит некоторой  прямой, то проекции этой точки лежат на соответствующих проекциях прямой. Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рисунок 17). Так как прямые АА₁, СС₁, ВВ₁ параллельны между собой, то . 

     Это вытекает из теоремы Фаллеса. Напомним ее: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной  его стороне равные отрезки, то они  отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

    Этим  свойством можно воспользоваться для деления отрезка прямой линии в некотором заданном соотношении.

     Даны проекции отрезка СD (рисунок 18). Нужно разделить его в соотношении 2:3. Из произвольной точки концов отрезка (например, из точки С₁) проведем  вспомогательную прямую в произвольном направлении и отложим на ней пять равных между собой отрезков. Последнюю точку – 5 соединим с другим концом отрезка (D₁) и параллельно прямой 5-D₁ проведем из точки 3 прямую. Получаем точку К₁, причем К₁D₁:C₁K₁=2:3. Затем по линии связи на проекции C₂D₂ находим К₂.

    1.9. Определение следов  прямой

    Точки пересечения прямой с плоскостями  проекций называются следами прямой (рисунок 19). Горизонтальная проекция горизонтального следа (точка М₁) совпадает с самим следом, а фронтальная проекция этого следа М₂ лежит на оси проекции Х. Фронтальная проекция фронтального следа N₂ совпадает со следом N, а горизонтальная его проекция N₁ лежит на той же оси проекции Х. Следовательно, чтобы найти горизонтальный след, надо продолжить фронтальную проекцию А₂В₂ до пересечения с осью Х и через точку М₂ провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А₁В₁. Точка М≡М₁ – горизонтальный след прямой АВ. Аналогично находим фронтальный след N≡N₂.

    Прямая  не имеет следа на плоскости проекции в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

    

    1.10. Взаимное расположение  двух прямых

    Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или  скрещивающимися.

    Если  две прямые в пространстве параллельны  между собой, то их проекции на плоскости также параллельны между собой (рисунок 20). Обратное утверждение не всегда верно (сравни прямые С₀D₀ и CD на этом же рисунке).

      

    Если  прямые линии пересекаются, то их одноименные  проекции пересекаются между собой  в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых (рисунок 21).

    

    Скрещивающиеся  прямые не пересекаются и не параллельны между собой (рисунок 22).

      

    Как видно из данного рисунка, точка  с проекциями К₂ и К₁ принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежит прямой СD. Эти точки одинаково удалены от плоскости π₂, но расстояния их от плоскости π₁ различны: точка L расположена выше, чем точка К.

    2 Лекция 2. Проекции плоскости на чертеже

    Содержание  лекции:

    -  рассмотрение способа задания проекции плоскости на чертеже;

    - рассмотрение плоскости общего и частного положения, особенности расположения их проекций;

    - рассмотрение проекции плоских углов, проецирование прямого угла в натуральную величину.

    - рассмотрение проекции параллельных и пересекающихся плоскостей.

    Цель лекции:

    - изучить способы построения проекций  различных плоскостей на чертеже.

    2.1 Способы задания плоскости на чертеже

    Плоскость на чертеже может быть задана:

    а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рисунок 23 а);

    б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рисунок 23 б);

    в) проекциями двух пресекающихся прямых (рисунок 23 в);

    г) проекциями двух параллельных прямых (рисунок 23 г);

    д) проекциями любой плоской фигуры – треугольником, многоугольником, кругом и т.д. (рисунок 23 д);

    е) более наглядно плоскость может  быть изображена при помощи следов – линий пересечения ее с плоскостями проекций (рисунок 23 е).

    

      

    

      

    2.2   Проекции плоскостей частного  положения

    Если  плоскость не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций, то она называется плоскостью общего положения.

      

    Если  плоскость параллельна плоскости π₁, то такая плоскость называется горизонтальной. На рисунке 24 плоскость γ (АВС) расположена параллельно плоскости π_1. Как видно на рисунке, фронтальная проекция этой фигуры представляет собой прямую линию, параллельную оси Х и совпадающую с фронтальным следом ƒ₀γ плоскости, а горизонтальная проекция γ₁ (А₁В₁С₁) равна самой фигуре.

    Если  плоскость параллельна плоскости π₂, то такая плоскость называется фронтальной. На рисунке 25 плоская фигура (круг) расположена параллельно плоскости π₂. Горизонтальная проекция ее представляет собой прямую линию, параллельную оси Х, а фронтальная проекция равна самой фигуре.

    

    

    Если  плоскость параллельна плоскости π₃ , то такая плоскость называется профильной плоскостью (рисунок 26).

    Если  плоскость перпендикулярна плоскости π₁ (но не параллельна плоскости π₂), то такая плоскость называется горизонтально-проецирующей (не путать с горизонтальной). На рисунке 27 горизонтально-проецирующая плоскость β задана следами. Как видно на рисунке, фронтальный след такой плоскости ƒ_оβ проходит перпендикулярно оси Х, а горизонтальный след h_оβ обладает собирательным свойством (горизонтальная проекция любой точки, линии или плоской фигуры, принадлежащей плоскости β, совпадает с горизонтальным следом h_оβ).

    

      

    

    Если  плоскость перпендикулярна плоскости π₂ (но не параллельна плоскости π₁), то такая плоскость называется фронтально-проецирующей (рисунок 28).

    

    Если  плоскость перпендикулярна плоскости π₃ (но не перпендикулярна плоскостям π₁ и π₂), то такая плоскость называется профильно-проецирующей (рисунок 29).

    

2.3 Проекции плоских углов

    Если  плоскость γ, в которой расположен некоторый угол АВС, перпендикулярна к плоскости проекции (π₁), то он проецируется на эту плоскость проекции в виде прямой линии (рисунок 30).

    

          Если плоскость  прямого угла не перпендикулярна  к плоскости проекции и хотя бы одна его сторона параллельна  этой плоскости, то прямой угол проецируется на нее в виде прямого угла.

          На рисунке 31 сторона ВС параллельна плоскости π₁. Если угол АСВ прямой, то независимо от положения стороны АС на проекции угол АСВ будет также прямым.