Система счисления

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      Содержание                                  

1. Система  счисления………………………………………………………………………………………………..3

2. Непозиционные и позиционные системы счисления………………………………………………………..3

3. Непозиционные системы счисления…………………………………………………………………………...3

4. Позиционные системы счисления………………………………………………………………………………3

5. Системы счисления……………………………………………………………………………………………….3

6. Десятичная система счисления…………………………………………………………………………………3

7. Двоичная система счисления……………………………………………………………………………………3

8. Восьмеричная система счисления…………………………………………………………………………...3-4

9. Шестнадцатеричная система счисления………………………………………………………………………4

10. Перевод из одной системы счисления в другую……………………………………………………………4

11. Перевод целых чисел……………………………………………………………………………………………4

12. Перевод правильных дробей…………………………………………………………………………………..4

13. Правила перевода из системы счисления в систему счисления……………………………………...4-5

14. Задания…………………………………………………………………………………………………………….6

     Список литературы……………………………………………………………………………………….………7

                       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    
 
 
 

     Системой  счисления - называется совокупность правил для обозначения (записи) действительных чисел с помощью цифровых знаков. Для записи чисел в конкретных системах счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий из цифр а1 , а2, а3,..,аn. При этом каждой цифре аi в записи числа ставится в соответствие определенный количественный эквивалент. Различают непозиционные и позиционные системы счисления. 

     Непозиционные системы счисления. В ней количественный эквивалент каждой цифры, входящей в запись данного числа, не зависит от места (позиции) этой цифры в ряду других цифр.   Пример: римская система счисления. В ней для записи различных целых чисел используются символы I, V, X, L, C, D, M и т.д., обозначающие соответственно 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000 и т.д. Например, запись MCMLXXXV означает число 1985. Общим недостатком непозиционных систем является сложность представления в них достаточно больших чисел, так как при этом получается чрезвычайно громоздкая запись чисел или требуется очень большой алфавит используемых цифр. В ЭВМ применяют только позиционные системы счисления, в которых количественный эквивалент каждой цифры алфавита зависит не только от вида этой цифры, но и от ее местоположения в записи числа. 

     Позиционные системы счисления. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

            

                       Системы счисления                                 

     Десятичная  система счисления. Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только

цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – число десятков, следующая - число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно

представить в виде суммы различных целых  степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + .+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +.+ a-n * 10-n. 

     Двоичная  система счисления. В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц,

следующая цифра - число двоек, следующая - число  четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ. 
 
 
 

     Восьмеричная  система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100

(восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой. 

     Шестнадцатеричная система счисления. Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

            

           Перевод из одной системы счисления в другую                    

     Перевод целых чисел. Для перевода целых чисел из одной системы счисления с основанием S в другую с основанием S1 надо это число последовательно делить на основание S1 новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное меньше S1. Число в новой системе запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Это последнее частое дает цифру старшего разряда в новой системе счисления. Деление выполняют в исходной системе счисления. Например: 37710=1011110012 

     Перевод правильных дробей. Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую необходимо эту дробь последовательно умножать на основание той системы , в которую она переводится, перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе

записывается  в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого. Например:

0,6875                                               0,67510=0,100112

*          2

1,3750

*           2

0,7500

*           2

1,5000

*           2

1,0000

При переводе неправильных десятичных дробей необходимо пользуясь рассмотренными правилами выполнить отдельно перевод целой и дробной частей.

           

     Правила перевода из системы  счисления в систему  счисления:           

1. Для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную необходимо:

А) Старшую цифру исходного числа умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

Б)  Результат опять умножить на основание старой системы счисления и прибавить следующую цифру исходного числа

В) Процесс перевода заканчивается после прибавления последней самой младшей цифры исходного числа

2. Для перевода чисел из десятичной системы счисления в любую необходимо делить исходное число на основание новой системы счисления до тех пор пока последнее частное не станет меньше основания новой системы счисления. Результат складывается из остатков деления, начиная с последнего.

3. Для перевода чисел из любой системы счисления в любую необходимо исходное число перевести в десятичную систему по первому правилу (умножением), полученное десятичное число перевести в искомую систему по второму правилу (деление).

4.  Для перевода чисел из систем счисления, которые являются степенью двойки необходимо:

А)  Из 16-ричной в 2-ичную: для перевода 16-ричного числа в двоичную систему необходимо каждую цифру 16-ричного числа заменить 4-х разрядным двоичным значением.

Б)  Из 8-ричной в 2-ичную: Каждую цифру 8-ричного числа необходимо заменить 3-х разрядным двоичным значением. 
 

     Представление чисел в различных системах счисления

Системы счислений

Десятичная Двоичная Восьмеричная             Шестнадцатеричная

                                0                  0                       0                                       0

                                1                  1                       1                                       1

                                2                     10      2                                       2

                                3                  11                       3                                       3

                                4                  100                       4                                       4

                                5                  101                       5                                       5

                                6                  110                       6                              6

                                7                  111                       7                                     7

                                8                  1000                       10                         8

                                9                  1001                       11                          9

                                10                  1010                       12                            А