СМО с ожиданием

stify">если  подставить сюда выражения для вероятностей (4), получим:

(10)

Здесь использованы соотношения (7), (8) (производная  геометрической прогрессии), а также из (4). Если сравнить это выражение с (8), можно заметить, что среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, поделенному на интенсивность потока заявок.

(11)

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100 %, то очевидно, , в противном же случае

(12)

Отсюда

                                                    (13)

 

3. Постановка задачи, математическая модель задания, алгоритм выполнения задания.

Формулировка  задачи:

Построить модель СМО с ожиданием «клиент  – очередь - сервер», исследовать  её характеристики и поведение.

Описание  системы:

Имеется одноканальная СМО с ожиданием, содержащая один однородный поток заявок. То есть поступившая на обслуживание заявка становится в очередь: если очередь свободна, то заявка отправляется на обработку, если очередь уже занята другими заявками, то она становится в очередь на соответствующее место в данном потоке обслуживания. 

Исходные данные:

1. Интенсивность  поступления заявок (λ = 110);

2. Интенсивность  обработки заявок (µ = 40);

3. Количество  мест в очереди (m = 80);

Требуется найти:

1. Среднее количество заявок в очереди;

2. Вероятность отказа;

3. Среднее время ожидания обработки запроса;

4. Относительную и абсолютную пропускную способность;

5.  Среднее время ожидания и обработки  заявки. 
 
 

Реализация  математического  аппарата.

Исходя  из формулы (1):

 где  ;

Т. е.

Предельные  вероятности будут иметь следующий  вид:

.

.

.

 

 справедливо только если p < 1, а если эти значения равны между собой, то мы получим неопределенность: 0/0 . Поэтому, вспомнив, что сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m + 2, будем иметь формулу:

;     т. е.   

Вероятность отказа. Очевидно, что заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все m мест в очереди тоже:

,  имеем:

Исходя  из формулы (6), относительная пропускная способность:

Q = 1 - Pотк = 0.3636

Абсолютная  пропускная способность:

A = λ*Q = 110 * 0.3636 = 39.996 = 40;

Далее сопоставляя уже имеющиеся данные и соответствующие формулы (11, 12, 13), определяем другие показатели. В итоге получаем:

Время ожидания заявки - 5,18897759396253E-36

Время обслуживания заявки - 0,00909090909090909

Время нахождения заявки в СМО - 0,00909090909090909 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ниже приведена  блок-схема алгоритма работы СМО:

     

     

       

     

     

     

       Нет

     

     

     

     

       Да

     

     

Рис 2. Блок-схема  алгоритма программы 
 
 
 
 

4. Программная реализация.

Модель  СМО с ожиданием в данной курсовой работе описывается в программе, выполненной на  языке программирования C#.

Составлена  программа, в которой имеются  три основных блока: блок ввода исходных данных(textbox 1, 2, 3), блок вывода вычисленных данных(richTextbox 1, 2), блок вывода графика параметров (Console ZedGraph1).

Программа высчитывает такие данные СМО, как  число заявок, обработанных в единицу  времени, вероятность отказа, относительная  пропускная способность, абсолютная пропускная способность, средняя длина очереди, среднее число заявок, находящихся на обслуживании, число заявок, связанных с системой, время ожидания заявки, время обслуживания заявки, время нахождения заявки в СМО. Эти расчеты производятся относительно исходных данных:  число поступивших заявок в единицу времени (интенсивность поступления заявок), число обработанных заявок в единицу времени (интенсивность обработки), длина очереди. 

Листинг и программы представлен в приложении.      

 

Алгоритм  работы программы:

      1.Ввод  данных: число поступивших заявок  в единицу времени, число обработанных заявок в единицу времени, длина очереди.

      2. По исходным данным программа  высчитывает: число заявок, обработанных  в единицу времени, вероятность отказа, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднюю длину очереди, среднее число заявок, находящихся на обслуживании, число заявок, связанных с системой, время ожидания заявки, время обслуживания заявки, время нахождения заявки в СМО           

      4. Программа выводит результаты  на экран.

      5. Программа строит графики, по данным, полученным выше. 

Рис. 3. Графики программы. 
 

Рис. 4. Работа программы СМО 
 
 

5. Заключение 

В ходе проделанной курсовой работы, был проведен анализ СМО с ожиданием. По исходным данным (число поступления заявок в единицу времени, число обработки заявок в единицу времени, длина очереди) произведены расчеты параметров СМО, таких как абсолютная и относительна пропускная способности СМО, вероятность отказа, среднее число заявок в очереди, среднее время обработки заявок, ожидания заявки, нахождения заявки в СМО.

По исходным и полученным данным построены графики показателей системы: зависимость вероятности отказа и относительной пропускной способности от числа заявок в очереди.

Наряду  с этим, рассматривается весь математический аппарат одноканальной СМО, и подробно описывается актуальность СМО, их применение в хозяйственной деятельности человека. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6. Приложения.

Приложение 1. Листинг  программы:

using System;//определение пространства имен

using System.Collections.Generic;

using System.ComponentModel;

using System.Data;

using System.Drawing;

using System.Linq;

using System.Text;

using System.Windows.Forms;

using ZedGraph;//подключение библиотеки zedgraph

namespace WindowsFormsApplication1

{

public partial class Form1 : Form

    {

        public Form1()

        {

            InitializeComponent();//инициализация компонентов формы

        }

public void button1_Click(object sender, EventArgs e)

        {

            double la = Convert.ToDouble(textBox1.Text);//ввод переменной лямбда (интенсивность поступления заявок)

            double mu = Convert.ToDouble(textBox2.Text);//ввод переменной мю (интенсивность обработки заявок)

            double m = Convert.ToDouble(textBox3.Text);//ввод переменной м (длинна очереди)

            double p = la / mu;//число заявок, обработанных в единицу времени

            double step = Math.Pow(p, m);

            double step1 = Math.Pow(p, m + 1);

            double step2 = Math.Pow(p, m + 2);

            double p0 = (1 - p) / (1 - step2);//предельная вероятность p0

            double Potk = (step1 * (1 - p)) / (1 - step2);//вероятность отказа

     double q = 1 - Potk;//относительная пропускная способность

            double A = q * la;//абсолютная пропускная способность

            double r1 = p * p * (1 - (m + 1 - m * p));