Гравитационные модели

     Отсюда  земельная рента 

     

где:

 l - радиус городской территории по данному азимуту.

     Эта простая теория хорошо демонстрирует  проблематику пространственного моделирования  городских систем:

• их пространственную неоднородность;

• значение центра;

• системную  роль транспортного фактора;

• эволюционное воздействие таких технико-экономических  параметров, как скорость пассажирского  внутригородского транспорта, экономическая  оценка свободного времени. 

     8.3. Моделирование транспортных корреспонденций при заданном расселении 

     Задача  оптимального размещения жилищных районов, предприятий, являющихся градообразующими, а также распределение сферы  обслуживания, включая автозаправочные  станции, оптовые и розничные  торговые точки, станции метро, автобусные и троллейбусные остановки, напрямую связана с задачей определения  грузопотоков и пассажиропотоков в  городе или регионе. Таким образом, задача определения грузопотоков и  пассажиропотоков является отправной  точкой для решения ряда проблем  городской и региональной логистики, а также задач, стоящих перед  торговым бизнесом.

     Город, а тем более регион, представляет собой сложную многоэлементную и неоднородную динамическую систему. Такие сложные системы, как городские и региональные транспортно-логистические системы, характеризуются существенной разнородностью и неполнотой информации о протекающих в них процессах и движении материальных потоков. Существуют и объективные трудности в получении статистической информации о грузопотоках в регионе. В частности, если получение информации о перевозках таможенных и нетаможенных грузов авиационным, железнодорожным, морским и, отчасти, речным транспортом, а также таможенных грузов автомобильным транспортом, представляется возможным, то получение информации о перевозках нетаможенных грузов автотранспортом представляется весьма затруднительным. В связи с такой неполнотой информации одним из возможных методов определения грузопотоков является так называемый гравитационный метод, основанный на принципе максимизации энтропии.

     В городских и региональных транспортно-логистических системах взаимодействия имеют стохастический характер. Эти взаимодействия настолько разнообразны и непостоянны, что часто не удается выделить причинно-следственные связи между элементами, т. е. представить систему с одним входом и выходом. С другой стороны, внешние проявления этих взаимодействий можно наблюдать и оценивать при помощи группы показателей состояния городской или региональной системы, т. е. состояние таких систем определяется детерминированными характеристиками. Таким образом, городи регион можно рассматривать как систему экономического обмена, в котором можно выделить два существенно отличающихся друг от друга уровня: стохастических межэлементных взаимодействий (микросистемный уровень) и детерминированных характеристик поведения системы в целом (макросистемный уровень). Это дает основание использовать макросистемную модель для исследования процессов в системах экономического обмена.

     Основное  внимание при анализе систем экономического обмена уделяется вопросам равновесия. Закономерности, присущие равновесным состояниям в системах экономического обмена, во многом обнаруживают аналогию с теми, которые имеют место в физических системах. Под равновесием понимается такое состояние системы, при котором функция полезности системы достигает максимума.

     Функция полезности является обобщенной характеристикой  системы экономического обмена. Проводя аналогию с физическими системами, в системе экономического обмена в качестве функции полезности может быть принята энтропия, характеризующая распределение вероятностей состояний системы.

     Метод максимизации энтропии, в сущности, приписывает равные вероятности  всем состояниям сложной системы, которые  не исключаются априорной информацией. Исходной моделью является гравитационная модель, которая выражается следующей  зависимостью: 

     

 
 

где:

     Gi,j - грузопоток товара из региона i в регион j;

     Si - объемы производства данного товара в регионе i;

     Рj - объемы потребления данного товара в регионе j;

     Сi,j - затраты на транспортировку товара из региона i в регион j;

     µ - коэффициент.

     Информация  о потреблении и производстве того или иного товара может быть получена в органах статистики. Потребление, например, продуктов питания и  товаров народного потребления  также может быть оценено на основе данных о численности населения  и среднемесячных норм потребления  с учетом показателей прожиточного уровня в регионе.

     В рассматриваемой модели на величины Si и Рj накладываются ограничения: 

     

 

     Данные  ограничения означают, что суммы  по строкам и столбцам матрицы  грузопотоков должны совпадать с  объемом грузопотоков, исходящих  из каждой зоны, и с грузопотоком, входящим в каждую зону. Для удовлетворения этих ограничений необходимо ввести наборы констант Аi,Вj, связанные соответственно с зонами исходящих и входящих грузопотоков. Эти константы называются балансирующими множителями. С учетом балансирующих множителей гравитационная модель принимает вид:

     

     Уравнения для Аi и Bj решаются итерационным методом.

     Помимо  рассмотренных выше ограничений, в модели вводится ограничение на Gi,j, имеющее вид: 

     

     Наиболее  вероятному распределению будет  соответствовать матрица G=||Gij||, максимизирующая энтропию: 

     

     где W(G) — полное число состояний транспортно-логистической системы региона, соответствующих распределению ||Gij||.

     Для отыскания матрицы G =||Gij||, максимизирующей lnW(G), находят максимум лагранжиана: 

     

     где λ,μ,η — множители Лагранжа.

     Значения ||Gij||, обуславливающие максимум L, являются решениями уравнений:

     

     При расчете пассажиропотоков в городе или регионе в качестве величин  Gjj, Sj, Pj выступают соответственно:

     • пассажиропоток из городской зоны i в зону j ;

     • полное число отправлений из зоны i;

     • полное число прибытий в зону j.

     Как и в задаче с грузопотоками, Gi,j обозначают затраты на передвижение пассажиров из зоны i в зону j.

     Энтропийные модели таких сложных систем как городские и региональные транспортно-логистические системы позволяют получать близкие к реальным данные о грузопотоках и пассажиропотоках в регионах и городах. Данная методика может быть полезна как большим, так и малым торговым компаниям, имеющим собственные розничные торговые сети, при решении вопросов размещения торговых точек.

     Моделирование транспортных корреспонденций при заданном расселении и размещении мест приложения труда является более общей постановкой задачи о транспортных корреспонденциях, связывающих районы города между собой.

 Пусть территория  города разбита на I районов, в каждом из которых (i ÎI, jÎ I) имеются трудовые ресурсы (аi - исходящее от района i предложение труда) и предприятия, или «места приложения труда» (определяющие спрос на трудовые ресурсы bj). Известна матрица взаимных удаленностей rij районов друг от друга (или времени tij, необходимого для преодоления соответствующего расстояния, или стоимости поездок Сij из одного района в другой). Необходимо оценить систему трудовых корреспонденций между районами. Из общей постановки легко видеть, что она близка к известной транспортной задаче линейного программирования. Принципиальная разница состоит в том, что система грузовых перевозок мыслится централизованной, жестко управляемой рациональным расчетом. В связи с этим критерий оптимальности для нее формируется, как

     

     В случае пассажирских корреспонденций  можно говорить только о предпочтениях  населения, или вероятностях рij выбора жителями района i -того или иного пункта назначения j .

Реализация системы  корреспонденции хij должна мыслиться как случайный процесс, формируемый упомянутыми частными предпочтениями pij, в свою очередь связанными с характеристиками удаленностей районов i и j друг от друга: pij=f(rij), или ft (tij), или fс(Сij). В связи с этим А. Вильсон (Великобритания) предложил рассматривать в качестве критерия оптимальности для формирования системы корреспонденции известную в статистической физике Н-функцию Л. Больцмана (Германия), выражающую логарифм вероятности Р реализации «макросистемой» состояния в данными {xij, ij}пропорциями «микросистем», если известны их частные вероятности реализации рij . Эта функция 

     

была  названа энтропией; критерий, определяющий фактически реализуемое ею состояние, записывается, как:

     

 

     Индивидуальные  предпочтения, или вероятности реализации пассажирами той или иной корреспонденции  (i,j) впервые были изучены отечественным исследователем Т. В. Шелейховским еще в 1936 году. При исследовании расселения работников одного крупного предприятия была выявлена характерная спадающая зависимость численности занятых из определенного района от

     его удаленности от предприятия. Эти  уже упомянутые зависимости рij = f(rij) были названы функциями предпочтения в выборе точек приложения труда или функциями расселения при выборе мест жительства. Их аппроксимация осуществлялась различными видами кривых:

        

     Шелейховским, а затем Ю. А. Шацким было обращено внимание на несоблюдение балансов