Министерство  Российской Федерации по связи и  информатизации 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 
 
 
 
 
 

                         Контрольная работа 

 

по  дисциплине «Экономико- математические методы и модели в отрасли связи» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2010                                                                                                                       
 

ЗАДАЧА 1.

На территории города имеется три телефонные станции А, Б, и В. Незадействованные ёмкости станций составляют на станции А-1200, Б-500, В-1100 номеров. Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1-800, 2-700, 3-400, 4-900 номеров .

Необходимо составить  экономико-математическую модель задачи с помощью распределительного или модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения ёмкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условия будет такое распределение ёмкости, при котором общая протяжённость абонентских линий будет минимальной.

Среднее расстояние от станции  до районов застройки, км

 

Решение:  

Поскольку суммарная ёмкость трёх станций  составляет 2800 номеров, а суммарная  потребность 4-х районов составляет 2100 номеров, необходимо ввести фиктивный  район Qф со средним расстоянием от всех станций равным нулю. Потребность фиктивного района  тогда равна 700 номеров.

      Для составления опорного решения можно  воспользоваться методом северо-западного  угла как наиболее простым, но поскольку  таблица не велика, то опорное решение  может быть получено путём «интуитивного» распределения (отталкиваясь от метода наименьшего элемента). При этом в первую очередь номерная емкость распределяется в районы, имеющие наименьшие расстояния и наибольшую  потребность в номерах.  

   Проверим  на оптимальность данное решение. Для  этого вводим дополнительную строку и дополнительный столбец. Первое значение в дополнительном столбце принимается  за ноль , а остальные рассчитываются по формуле:

 

U_i + V_j = - A_ij 

где A_ij – расстояние от станции до района.

U_i – значение клеток образующих дополнительный столбец.

V_j – значение клеток образующих дополнительную строку. 

Результаты  расчетов представлены в таблице 1.2 

Критерием оптимальности  в данном методе считается выполнение неравенства U_i + V_j > - A_ij для всех свободных клеток.

Проверим полученное решение на оптимальность. 

QБ - Q1 : + 3 – 4 = - 1 > - 3

QВ - Q1 : + 2 – 4 = - 2 > - 6

QВ – Q2 : + 2 – 5 = - 3 > - 7

QА – Q3 : +0 – 4 = - 4 > - 6

QВ - Q3 : + 2 – 4 = - 2 > - 5

QБ – Q4 : + 3 – 4 = - 1 > - 4

QБ -  QФ : + 3 – 0 = + 3 > 0

QВ – QФ : +2 + 0 = + 2 > 0

Поскольку критерий оптимальности выполняется  для всех свободных клеток, то следовательно  данное решение будет оптимальным.

Суммарная протяжённость линий связи составит: 

Σ = 500*4+100*2+400*1+300*6+100*4+600*7=10800 км. 

К данному решению  можно прийти, используя для составления опорного решения метод северо-западного угла с дальнейшей оптимизацией модифицированным методом, но поскольку объём вычислений в этом случае в 5 раз больше, то здесь этот вариант не приводится, а имеется исключительно в черновом варианте.  
 
 
 
 

ЗАДАЧА 2.

Необходимо оценить  работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n линий связи. Моменты поступления вызовов  на станцию являются случайными и  независимыми друг от друга. Средняя  плотность потока равна λ вызовов  в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно t_обс единиц времени. 
 

Исходные данные:

 

   Решение: 

   Так как  по условию задачи, моменты поступления  вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга, то данная система является системой с отказами. Основными показателями данной системы  являются:

-вероятность отказа Р_k – вероятность, что в системе из n – линий будет занято k ,   (2.1) ,  где   (2.2);

-вероятность  отказа Р_n – вероятность того, что все n – линии заняты,    (2.3);

-среднее число занятых линий     (2.4);

-среднее число  свободных линий    (2.5);

-коэффициент  занятости линии   (2.6);

-коэффициент  простоя линии     (2.7).

  Перед расчетом всех возможных вероятностей системы, необходимо определить значение нагрузки по формуле:

      (2.8) 

  Рассчитаем нагрузку: 

  

  Для расчёта  Р_{о ,} рассчитаем при всех возможных k – занятых линий:

k = 0 ,   ;

k = 1 ,   ; 

k = 2 ,  ; 

k = 3 ,  ; 

k = 4 ,  ; 

k = 5 ,  ; 

k = 6 ,  . 
 

   По  формуле (2.2) проведём расчёт Р_о для расчёта вероятности отказа Р_k  

   (Р_k – вероятность, что в системе из n – линий будет занято k. 

 
 

  Описанные расчёты приведены в таблице: 
 
 

 

По данным таблицы  видно, что вероятность получения отказа при всех занятых линиях связи (количество линий связи n = 6), составляет:  , при этом среднее число занятых линий  , а среднее число свободных линий   

Коэффициенты  занятости и простоя линий:

Делаем вывод, что данная АТС имеет загрузку 47.4 %. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАДАЧА 3. 

В  таблице 3.1. приведены затраты  времени почтальона ( в минутах) на проход между пунктами  доставки  на участке. Используя метод “ветвей и границ”, найти маршрут почтальона , при котором затраты времени на его проход будут минимальными.

Таблица 3.1 
 

        А   Б   В   Г   Д   Е

А

Б

В

Г

Д

Е