МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

     Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение  
высшего профессионального образования

     «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

 
     КАФЕДРА МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ

 
 
 
 
КУРСОВАЯ  РАБОТА  
ЗАЩИЩЕНА С ОЦЕНКОЙ

РУКОВОДИТЕЛЬ

 

 
 
 
 
 
     РАБОТУ  ВЫПОЛНИЛ

 

 
 
 
 
 
Санкт-Петербург 2011

     Содержание

     Аннотация

     В данной работе было произведено моделирование  случайного процесса. Так как исследование случайных нестационарных процессов  затруднено тем, что их сложно описать  математически, то было принято допущение, что рассматривается стационарный эргодический процесс. В работе рассчитаны теоретические и эмпирические значения моделируемого процесса, при помощи методов математической статистики произведена обработка экспериментальных данных, построены графики динамики изменения эмпирических данных для различных реализаций исследуемого процесса в зависимости от изменения объема выборки. Все вычисления проводились в пакете MathCad 14.

     Введение

     Современное программирование включает в себя элементы математических моделей и методов.

     Целью математического моделирования  является использование методов  математики для наиболее эффективного решения задач, возникающих в  разных сферах деятельности человека, с использованием как правило  современной вычислительной техники. Использование математики при этом позволяет:

• выделить и формально описать наиболее важные существенные связи между переменными и объектами;
• методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующих имеющимся наблюдениям.

     Для изучения различных явлений программисты используют их упрощенные формальные описания, называемые моделями. Строя  модели, выявляют существенные факторы, определяющие исследуемое явление и отбрасывают детали, несущественные для решения поставленной задачи. Формализация основных особенностей функционирования объектов позволяет оценить возможные последствия воздействия на них и использовать такт оценки в управлении.

     Основные  этапы построения модели:

1. Формирование предмета и цели исследования.
2. Выделение в рассматриваемой модели структурных или функциональных элементов, соответствующих данной цели, выявление наиболее важных качественных характеристик этих элементов.
3. Введение символических обозначений для учитываемых характеристик объекта и формализации взаимосвязи между ними.
4. Проведение расчетов по математическим моделям и анализа полученного решения.

     Модели  позволяют выявить особенности  функционирования объекта и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надежный прогноз.

     По  своему определению любая модель абстрактна и, следовательно, неполна. Выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого объекта, модель абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведении. Состав учтенных в модели факторов и ее структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

     Вероятностные характеристики моделируемого  процесса

     Чтобы задать конкретную модель процесса в  общем случае необходимо определить его n-мерную плотность распределения и корреляционную функцию, но на практике это невозможно. Единственное, что удается определить для каждого процесса – это его одномерную плотность распределения корреляционную функцию при предположении, что моделируемый процесс является приводимым.

     Для моделирования любого процесса задается математическое ожидание, дисперсия, плотность  распределения и корреляционная функция. Математическое ожидание и дисперсия являются детерминированными функциями, определенными по множеству реализаций этого процесса. Плотность распределения и корреляционная функция могут быть определены или для процесса при условии, что он является эргодическим, или для процесса , если это не так.

     В ходе моделирования используется прикладной пакет программ для технических  расчетов и построения графиков MathCad 14.

     Исходные  данные

     Функция математического ожидания:

      , при  .

     Функция дисперсии:

      , при  .

     Закон распределения: экспоненциальное.

     Задание начальных параметров

     Принятие  констант:

     

     Математическое  ожидание:

     

     Дисперсия:

     

     Плотность распределения:

     

     

     Функция распределения

     

     Расчет  теоретически значений первых четырех моментов

     

     Корреляционная  функция

     

     Математическое  моделирование процесса

     Для объема выборки 500 элементов

     

     Для объема выборки 1000 элементов

     

     Для объема выборки 10000 элементов

     

     Обработка результатов машинного  эксперимента

     Расчет  моментов и построение гистограмм распределения  для выборки из 500 элементов

     Расчет  моментов и построение гистограмм распределения для выборки из 1000 элементов

     Расчет  моментов и построение гистограмм распределения  для выборки из 10000 элементов

     Построение  графиков динамики значений основных моментов

     Построение  корреляционных функций

     Заключение

     В данной работе показаны основные принципы моделирования.

     Были  заданы характеристики случайного процесса, его плотность распределения, математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Были построены графики  математического ожидания, дисперсии, плотности и функции распределения вероятности, отражающие теоретические знания. Был проведен машинный эксперимент, в результате которого получены три выборки размером 500, 1000 и 10000 значений.

     В ходе работы были рассчитаны теоретические  значения математического ожидания, дисперсии, а также эмпирические значения математического ожидания и дисперсии, полученные в ходе статистической обработки, построены соответствующие графики и гистограммы. При малой выборке наблюдается расхождение полученных значений с теоретическими. С ростом размера выборки наблюдается хорошее соответствие теоретических значений и полученных на основе машинного эксперимента.

     Полученные  в ходе работы результаты корреляционной функции также говорят о приближении  экспериментальных и теоретических  данных с ростом размера выборки.

     Список  литературы

1. Е. Гмурман  Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1997 г.
2. Д. Кирьянов Mathcad 13. Наиболее полное руководство. – С-Пб: БХВ-Петербург, 2006 г.
3. Е.В. Шикин Математические методы и модели в управлении. – М.: Дело, 2002 г.
4. Р.А. Шмойлов Теория статистики. – М., 2002 г.

     Приложение 1

     Листинг программы Mathcad 14