Модели распределенных лагов

Формально модель зависимости  коэффициентов b_j от величины лага j в форме полинома можно записать в следующем виде:

•    для полинома 1-й степени: b_j = c₀ + с₁ j;

•    для полинома 2-й степени b_j = c₀ + с₁ j + с₂j²;

•    для полинома 3-й степени: b_j = c₀ + с₁ j + с₂j² +с₃j³ и т. д.

В наиболее общем виде для  полинома k-й степени имеем:

b_j = c₀ + с₁ j + с₂j^2+...+ с_k  j ^k                                                                            (2)

Тогда каждый из коэффициентов b_j модели (1) можно выразить следующим образом:

b₀ = c₀;

b₁ = c₀ + с₁ +… + с_k;

b₂ = c₀ +2 с₁ + 4с₂+…+2^k с_k;

b₃ = c₀ +3 с₁ + 9с₂+…+3^k с_k;

  и т. д.

b₁ = c₀ +l с₁ + l ²с₂+…+l^k с_k.                                                                        (3)

Подставив в (1) найденные соотношения для b_j, получим:

y_t = а+c₀ х_t+(с₀+с₁+ ... + с_k)* х_t-1,+(с₀+2с₁+4c₂+... +2^k с_k)* х_t-2+

+(с₀+3с₁+9c₂+...+3^kс_k)*х_t-3+…+(с₀+lс₁+l²c₂+...+l^kс_k) * х_t-l+ e_t.                (4)

Перегруппируем слагаемые  в (4):

y_t = а + c₀ (х_t + х_t-1, +  х_t-2+…х_t-l) + c₁ (х_t-1, +2  х_t-2+3 х_t-3…l*х_t-l)+  c₂ (х_t-1, +4  х_t-2+9 х_t-3…l²*х_t-l)+ …+  c_k (х_t-1, +2^k  х_t-2+3^k х_t-3…l^k*х_t-l)+ e_t.                           (5)                                               

 

Обозначим слагаемые в  скобках при c_i, как новые переменные:

 z₀ = х_t + х_{t - 1}, +  х _{t - 2}+…+ х _{t - l} = ;

z₁ = х _{t -1} +2 х _{t  - 2} +3  х _{t - 3}+…+l х _{t – l} = ;

z₂ = х _{t – 1} +4 х _{t – 2} +9  х _{t – 3} +…+l ² х _{t – l} = ;

…………………………………………………                                       (6)

 z _k= х _{t – 1} +2 ^k х _{t - 2} +3 ^k  х _{t - 3}+…+l ^k х _{t – l} = ;

 

Перепишем модель (5) с учетом соотношений (6):

y_t = а + c₀ z₀ + c₁ z₁ +  c₂ z₂ + …+   c_k z_k + e_t.                                                  (7)

           

 

 

 

 

Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.

1. Определяется максимальная  величина лага l.

2. Определяется степень  полинома k, описывающего структуру лага.

3.  По соотношениям (6) рассчитываются  значения переменных z₀… z _k

4.  Определяются параметры  уравнения линейной регрессии  (7).

5. С помощью соотношений  (3) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Применение метода Алмон  сопряжено с рядом проблем.

Во-первых, величина лага l должна быть известна заранее. При ее определении лучше исходить из максимально возможного лага, чем ограничиваться лагами небольшой длины. Выбор меньшего лага, чем его реальное значение, приведет к тому, что в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат, т. е. к неверной спецификации модели. Влияние этого фактора в такой модели будет выражено в остатках. Выбор большей величины лага по сравнению с её реальным значением будет означать включение в модель статистически незначимого фактора и снижение эффективности полученных оценок, однако эти оценки все же будут несмещенными.

Существует несколько  практических подходов к определению  реальной величины лага, например, построение нескольких уравнений регрессии и выбор наилучшего из этих уравнений или применение формальных критериев, например критерия Шварца. Однако наиболее простым способом является измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями фактора.

Во-вторых, необходимо установить степень полинома k. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов 2-й и 3-й степени, применяя следующее простое правило: выбранная степень полинома k должна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Если информацию о структуре лага получить невозможно, величину k проще всего определить путем сравнения моделей, построенных для различных значений k, и выбора наилучшей модели.

В-третьих, переменные z, которые определяются как линейные комбинации исходных переменных х, будут коррелировать между собой в случаях, когда наблюдается высокая связь между самими исходными переменными. Поэтому оценку параметров модели (7) приходится проводить в условиях мультиколлинеарности факторов. Однако мультиколлинеарность факторов z₀… z_k в модели (7) сказывается на оценках параметров b₀… b_l в несколько меньшей степени, чем если бы эти оценки были получены путем применения метода наименьших квадратов непосредственно к модели (1) в условиях мультиколлинеарности факторов х_t,...,х_t-l. Это связано с тем, что в модели (7) мультиколлинеарность ведет к снижению эффективности оценок с₀,...,с_k, поэтому каждый из параметров b₀… b_l, которые определяются как линейные комбинации оценок с₀,...,с_k, будет представлять собой более точную оценку.

Метод Алмон имеет  два неоспоримых преимущества.

• Он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов.
• При относительно небольшом количестве переменных в (7) (обычно выбирают k = 2 или k = 3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

     

Глава2. Построение модели с распределенным лагом

 

В таблице 1 представлены данные об объеме выпуска продукции в бизнес-секторе экономики США (в % к уровню 1982 г.) и общей сумме расходов на приобретение новых заводов и оборудования в промышленности за 1959-1990 гг. (млрд долл. США).

Таблица 1.

Динамика объемов  ВВП США (у, в ценах 1987 г., млрд долл. США)

и валовых внутренних инвестиций в экономику США

(х, в ценах 1987 г., млрд долл. США)*

Год	Y	х	zо	z1	z2
1959	1931,3	296,4
1960	1973,2	290,8
1961	2025,6	289,4
1962	2129,8	321,2
1963	2218	343,3	1541,1	2958	8838,4
1964	2343,3	371,8	1616,5	3017,1	8885,5
1965	2473,5	413	1738,7	3179,6	9266,2
1966	2622,3	438	1887,3	3471,3	10129,1
1967	2690,3	418,6	1984,7	3752,6	10929
1968	2801	440,1	2081,5	4020,8	11836,4
1969	2877,1	461,3	2171	4243,3	12664,5
1970	2875,8	429,7	2187,7	4349,3	12997,1
1971	2965,1	481,5	2231,2	4347	12993,4
1972	3107,1	532,2	2344,8	4485,2	13393,6
1973	3268,5	591,7	2496,4	4629,5	13706,3
1974	3248,1	543	2578,1	4819,4	13929,2
1975	3221,7	437,6	2586	5249	15403,6
1976	3380,8	520,6	2625,1	5427,5	16450,1
1977	3533,2	600,4	2693,3	5391,6	16625,2
1978	3703,5	664,6	2766,2	5126,4	15309,2
1979	3796,8	669,7	2892,9	5177,6	14753,2
1980	3776,3	594,4	3049,7	5882,5	17061,3
1981	3843,1	631,1	3160,2	6329,2	18861
1982	3760,3	540,5	3100,3	6478,4	19669,6
1983	3906,6	599,5	3035,2	6264,7	19129,7
1984	4148,5	757,5	3123	5951,4	17951,8
1985	4279,8	745,9	3274,5	6102,4	18117,6
1986	4404,5	735,1	3378,5	6221,4	17819,4
1987	4540	749,3	3587,3	6897,4	20128,2
1988	4781,6	773,4	3761,2	7487,2	22522,8
1989	4836,9	789,2	3792,9	7460,9	22320,9
1990	4884,9	744,5	3796,5	7524,3	22388,1
1991	4848,4	672,6	3734	7645,3	22855,7

 

 

Построим модель с распределенным лагом для l= 4 в предположении, что структура лага описывается полиномом второй степени. Общий вид этой модели:

y_t = а + b₀ х _t + b₁ * х _{t – 1} + b₂ * х _{t  - 2} +b₃ * х _{t – 3} + b₄ * х _{t – 4} + e _t             

Для полинома второй степени  имеем:

b_j = c₀ + с₁* j+ с₂*j²,  j=

Для расчета параметров этой модели необходимо провести преобразование исходных данных в новые переменные z₀ , z₁  и  z₂

 Это преобразование  в соответствии с (6) выглядит  следующим образом:

z₀ = х _t + х _{t - 1} +  х_{t - 2}+  х _{t – 3} +х _{t – 4}

z₁ = х_{t - 1} +2 х _{t – 2} +3  х _{t – 3} +4 х _{t – 4}

z₂ = х _{t - 1} +4 х _{t  – 2} +9  х _{t  - 3} +16 х _{t  -  4}

Значения переменных z₀ , z₁  и  z₂ приводятся в таблице 1. Число наблюдений, по которым производился расчёт этих переменных, составило 28 (четыре наблюдения было потеряно вследствие сдвига факторного признака х_t на четыре момента времени).

Расчет параметров уравнения  регрессии (7) методом наименьших квадратов для нашего примера приводит к следующим результатам:

 = 300,010 + 1,922 *z₀ - 0,921 * z₁ + 0,184 * z₂; R² = 0,990.

          (66,200)    (0,205)       (0,299)      (0,073)

В скобках указаны значения стандартных ошибок коэффициентов регрессии. Воспользовавшись найденными коэффициентами регрессии при переменных z_i , i = 0,1,2 и соотношениями (3), рассчитаем коэффициенты регрессии исходной модели:

b₀ = 1,922;

b₁ =1,922 -0,921 + 0,184 =1,185;

b₂ = 1,922 + 2 • (-0,921) + 4 • 0,184 = 0,814;

b₃ = 1,922 + 3 • (-0,921) + 9 • 0,184 = 0,811;

b₄ = 1,922 + 4 • (-0,921) + 16 • 0,184 = 1,176.

Модель с распределенным лагом имеет вид:

 = 3000,01+1,922*x_t+1,185*х_t-1+0,184*x _{t -2} +0,811*х_t-3 +1,176*х_t-4 ; R² = 0,990.

    (66,200)    (0,205)    (0,100)     (0,142)     (0,096)          (0,208)     

В скобках указаны стандартные  ошибки коэффициентов регрессии.

Нанесем полученные значения на график (рис.2).

Рис. 2. Структура лага в модели зависимости объема ВВП от объема инвестиций в экономику

Анализ этой модели показывает, что рост инвестиций в экономику США на 1 млрд. долл. в текущем периоде приведет через 4 года к росту ВВП в среднем на (1,922 + 1,184 + 0,814 + 0,811 +  1,176) =5,908 млрд. долл. США.

Определим относительные  коэффициенты регрессии:

β₀= 1,922/5,908 = 0,325;

β₁ = 1,184/5,908 = 0,200;

β₂ = 0,814 / 5,908 = 0,138;

β ₃ = 0,811 / 5,908 = 0,138;

β₄= 1,176/5,908 = 0,199.

Более половины воздействия  фактора на результат реализуется с лагом в 1 год, причем 32,5% этого воздействия реализуется сразу же, в текущем периоде.

Средний лаг в данной модели составит:

= 0,325 + 0,200*1 +0,138*2+ 0,138*3 + 0,199*4= 1,686.

В среднем увеличение инвестиций в экономику США приведет к  увеличению ВВП через 1,69 года.

Для сравнения приведем результаты применения обычного МНК для расчета  параметров этой модели:

 = 296,56 +2,082 *x _t +0,784 *х_t-1+1,298 *x _{t - 2} + 0,428 *х_t-3 +1,323 *х_t-4 ; R² = 0,991.

(67,7)      (0,314)      (0,428)       (0,439)         (0,432)        (0,324)

 Хотя коэффициент детерминации  по модели, параметры которой  были рассчитаны обычным МНК,  несколько выше, однако стандартные ошибки коэффициентов регрессии в модели, полученной с учетом ограничений на полиномиальную структуру лага, значительно снизились. Кроме того, модель, полученная обычным МНК, обладает более существенным недостатком: коэффициенты регрессии при лаговых переменных этой модели х_t-1 и х_t-3 нельзя считать статистически значимыми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Использование различных  методов и моделей эконометрики имеет важное значение в наше время. Постановка и решение задач, связанных с разработкой экономико-математических моделей позволяет специалисту достичь высокого уровня квалификации.

В данной курсовой работе мы рассмотрели классический эконометрический подход к модели распределенных лагов, изучили структуру лага и рассмотрели общую характеристику модели с распределенным лагом. По итогам данной работы мы сделали вывод, что применительно к конкретным экономическим процессам существующая экономическая теория не может и не должна навязывать применение какой-либо единственной и всегда заведомо лучшей модели, не существует каких-либо формализованных рекомендаций, если, конечно, не считаться с возможностью последовательно перепробовать модели всех известных типов, которые позволили бы выбрать модель, лучше других соответствующую изучаемому объекту и имеющимся данным.

Что касается стабильности условий, необходимых для проведения эконометрических процессов: в случае, если она не имеет место для продолжительных периодов времени, это приводит к идее обобщения модели распределенного лага, состоящей в добавлении к ней других переменных-факторов z_1, z₂, ..., значения которых z_t,s характеризуют текущие условия функционирования изучаемой системы в период t.