Принцип максимума

     Согласно  условию оптимальности (3.16) функция  Гамильтона в любой момент t либо должна принимать свой внутренний (локальный) максимум, и тогда должно выполняться условие либо максимум, максимум достигается на границе, тогда где n – направление нормали к границе.

     Из  выражения для  функции  Гамильтона видно,  что но , поэтому .

     Таким образом, процедура применения принципа максимума к задаче (3.4) состоит  в следующем.

     Сначала вводятся п сопряженных переменных = ( ₁,..., _n), затем строится функция Гамильтона:

     

     После этого определяются функции u(t), (t), y(t), удовлетворяющие условиям:

      

,   

      

      

     Если  кроме уравнений движения есть и  другие ограничения, то они обычным  образом включаются в функцию  Лагранжа, а, следовательно, и в функцию  Гамильтона.

      Принцип максимума дает лишь необходимые  условия оптимальности. Действительно, оптимальная траектория состоит из некоторых участков управляющих траекторий, определенных по этому принципу.

Принцип максимума  как необходимое условие оптимизации  управляемых про-

цессов не гарантирует  оптимальности. Он только позволяет отсекать из множества до-

пустимых заведомо неоптимальные процессы, когда его  условия не выполняются, а ос-

тальные процессы, удовлетворяющие принципу максимума, следует воспринимать лишь

как кандидаты  в оптимальные. Даже если такой кандидат один, из содержательных ус-

ловий задачи должно вытекать знание о наличии оптимального процесса. Тогда этот

процесс и будет  оптимальным. Однако при строгих  рассуждениях это не убедительно,

нужны более точные аналитические оценки. Они существуют и формулируются в виде

следующей теоремы.

6.2. Принцип максимума  Понтрягина

Соотношения (см. разд. 6.1), выполняющиеся на оптимальном  процессе, с учетом ог-

раничений в постановке задачи (нет ограничений на состояние, независимость множества

допустимых управлений от состояния), позволили определить необходимые условия опти-

мальности процесса (x*(t), u*(t)). Полученные соотношения могут быть использованы для

“сужения” исходного  множества M допустимых процессов путем выделения из него только

тех процессов, которые  удовлетворяют необходимым условиям. Совокупность приведенных

условий, как правило, дает возможность выделить единственную траекторию x*(t) из мно-

жества допустимых траекторий. Если при этом еще известно (например, из содержательной

постановки задачи) о существовании оптимальной траектории, то тем самым x*(t) и отве-

чающее ему  управление u*(t) и есть решение задачи оптимального управления.

Комплекс условий, которому должен удовлетворять оптимальный  процесс, называ-

ется принципом  максимума Понтрягина (ниже поясним  суть названия). Сформулируем

его в виде теоремы.

Теорема 6.1 (принцип максимума Понтрягина). Пусть (x*(t), u*(t)) – оптимальный

процесс в задаче оптимального управления (6.1) – (6.5). Тогда  существует вектор-функция

ψ(t) = (ψ1(t), ψ2(t),..., ψn(t)), удовлетворяющая вместе с данным процессом следующим

условиям:

1. Функция H(t, x, ψ, u) (см. определение 6.9) достигает максимального значения по

u при x= x*(t), ψ= ψ(t) на значении u = u*(t) при всех t∈ [0, T] (см. соотношение (6.12)).

2. Переменные ψ(t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (6.16).

3. В конечный  момент времени t = T оптимальная траектория удовлетворяет усло-

виям трансверсальности (6.18).

Таким образом, система  уравнений (6.1) и (6.17) может быть записана в следующей

форме

dx

dt

i

= f i(t, x, u);

d

dt

i ψ

= -

∂ ψ

∂

H t x t u t

xi

( , , ( ), *( ) ⏐x*(t), i = 1, 2,..., n. (6.19)

Пример 6.1. Проиллюстрируем применение алгоритма принципа максимума на

простейшей задаче оптимального управления – линейной со свободным правым концом,

      когда при t=T конечные #______/_условия не заданы 

20. алгоритм решения задачи ОУ с помощью принципа максимума; каноническая форма записи системы уравнений принципа максимума; методы решения краевых задач;

 
 

Рассмотрим постановки и решения ряда задач оптимального управления для не-

прерывных и многошаговых (дискретных) процессов. Необходимые условия оптимизации

в форме Лагранжа-Понтрягина являются аппаратом оптимизации  процесса. В

соответствии  с теоремой 6.2 дополнительного доказательства оптимальности во всех

рассматриваемых случаях не требуется, так как  в разд. 8.1. решается линейная задача, а в

разд. 8. 2 и 8. 3 –  две содержательно сходные задачи соответственно для многошаговых и

непрерывных процессов  с выпуклыми функционалами и  линейными ограничениями.

Для линейной задачи краевая задача решается точно и  оказывается возможным

провести некоторый  качественный анализ еще до получения  решения; для многошаговых

и непрерывных  процессов краевые задачи решаются приближенно численным методом

прямой прогонки (см. разд. 1.6).

Две последние  задачи, содержательно между собой  очень близкие, приводятся вме-

сте для сопоставления  техники математических выкладок и  расчетных схем. Это дает воз-

можность увидеть  сходство и различие в однотипных постановках задач и подходах к их

решению. 
 
 
 

Модель  развития экономики: магистральная теория

В качестве практического  примера применения достаточных  условий оптимально-

сти (см разд. 3.1) рассмотрим однопродуктовую экономическую  систему, характеризую-

щуюся в каждый момент времени t (время непрерывное) набором переменных

X, Y, C, K, L, I,

где X – интенсивность выпуска валового продукта в рассматриваемый период;

Y – интенсивность конечного продукта, идущего на непроизводственное потребление;

C – величина непроизводственного потребления;

K – капитал (объем основных производственных фондов - ОПФ);

L – трудовые ресурсы (живая сила);

I – инвестиции.

Эти переменные взаимосвязаны. Прежде всего имеет место условие  баланса в каж-

дый момент времени

X = aX + Y, 0 < a < 1.

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО  РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

62

В свою очередь, конечный продукт распределяется на валовые инвестиции и не-

производственное  потребление

Y = I + C.

Валовые инвестиции расходуются на прирост капитала и восстановление ОПФ за

счет амортизационных  отчислений:

K

dt

I = dK + μ ,

где μ - коэффициент амортизации.

Тогда

I K

dt

dK = − μ ,

или

dt

dK = (1 - a) (1 - u)Х - μK , (5.8)

где u =

У

С - доля непроизводственного потребления:

0 ≤ u ≤ 1. (5.9)