Принцип максимума

      16. как определяется магистраль, почему она так называется,каковы свойства развития экономики на магистрали;

     Модель  развития экономики: магистральная теория

     В качестве практического примера  применения достаточных условий  оптимальности рассмотрим однопродуктовую экономическую систему, характеризующуюся в каждый момент времени (время непрерывно) набором переменных

     

где - интенсивность выпуска валового продукта в рассматриваемый период;

       - интенсивность конечного продукта, идущего на непроизводственное  потребление;

       - величина непроизводственного  потребления;

       - капитал (объем основных  производственных фондов – ОПФ);

       - трудовые ресурсы (живая  сила);

       - инвестиции.

     В свою очередь, конечный продукт распределяется на валовые инвестиции и непроизвнодственное потребление:

     

     Валовые инвестиции расходуются на прирост капитала и восстановление ОПФ за счет амортизационных отчислений:

     

      где - коэффициент амортизации.

     Тогда

     

      или

                                                           

                                 (4.9)

      где  - доля непроизводственного потребления:

                                                                                                                     (4.10)

     Будем считать, что размеры валового продукта определяются заданной производственной функцией, характеризующей возможности  производства в зависимости от величины капитала , трудовых ресурсов и времени :

                                                      

                                     (4.11)

     Предполагается, что производственная функция  непрерывна и дважды дифференцируема.

     Решением  будем искать при условии

                                                              

                                            (4.12)

      где - заданный уровень ОПФ.

     Пусть заданы ОПФ в начальный и конечный моменты времени:

                                                    

                                 (4.13)

     Допустимое  множество  в рассматриваемой задаче описывается условиями (4.9)-(4.13). допустимый процесс представлен совокупностью функций

     

      удовлетворяющей этим условиям. Здесь  - состояние экономической системы, - управление. Очевидно, что такой процесс не единственный.

     Задача  управления данной системой состоит в том, чтобы найти такой процесс  который обеспечивал бы наибольшее среднедушевое потребление на исследуемом интервале времени с учетом дисконтирования (приведенного к начальному моменту) потребления:

                                      

                                         (4.14)

      где - коэффициент дисконтирования.

     Сделаем замену переменных, приведя их к  удельным показателям на душу населения. Это позволяет сопоставлять однородные показатели больших и малых экономических систем. Введем в дифференциальное уравнение (4.9) относительные переменные:

• - капиталовооруженность;
• - среднедушевое потребление;
• - производительность труда.

     Так как  , , то уравнение (4.9) примет вид

      

.

     Согласно  правилу дифференцирования произведения получим 

      

.

     Будем считать, что прирост трудовых ресурсов осуществляется с постоянным темпом (на не слишком продолжительном отрезке времени это реально):

      

.

     Тогда

      

.

     Окончательно  дифференциальное уравнение связи  в относительных переменных с  учетом формулы (4.9) примет вид

                         .                                 (4.15)

     Ограничение на управлении остается тем же (4.10):

      

,

      а ограничение на производительность труда  примет вид

                                                            

                                             (4.16)

           

     Ограничения на капитал (ОПФ) заменим ограничениями  на капиталовооруженность:

                                                              

                                             (4.17)

     Вытекающие  из краевых условий (4.13) начальное  и конечное значение капиталовооруженности  имеет вид:

                                                      

                                          (4.18)

     Преобразование  функционала (4.14) к относительным  переменным дает

                                                                                       (4.19)

     В задаче (4.10), (4.15) - (4.19) требуется определить процесс  обращающий в минимум функционал (4.19) на множестве (4.10), (4.15) – (4.18).

     Таким образом, в редуцированной задаче состоянием системы является капиталовооруженность (в уравнении процесса (4.15) входит под знаком производной и сама по себе), а управлением – доля потребления (в уравнение процесса (4.15) входит только сама по себе). Производительность труда определяется по формуле (4.16).

     Уравнение процесса (4.15) – дифференциальное уравнение  роста капиталовооруженности.

     Построенная задача – линейная по управлению с ограничением на управление (4.10). Поэтому после преобразований получаем функцию , не зависящую от :

      

     Введем  обозначение  . Тогда, учитывая, что , можно записать

     

          .

     Проанализируем  поведение функции  по . Эта функция является суммой двух слагаемых: производственной функции с точностью до постоянного положительного множителя и линейного выражения. График и его составляющие при фиксированном значении показаны на рис.4.2 
 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 4.2 Функция 

и ее составляющие.

     Функция строго вогнута по : при . График в окрестности нуля близок к , так как при , а на бесконечности близок к , так как при . Поэтому функция имеет единственный максимум по , который достигается в точке .

     Необходимым условием максимума по является . Учитывая, что , имеем

     

.

     Так как  и , то

                                          

.                                 (4.20)

     График  функции  представлен на рис.4.3. Назовем эту функцию магистралью данной динамической модели экономики. Ниже будет предложено образное пояснение этого названия. 
 
 

       
 
 
 
 
 
 

     Рисунок 4.3 Функция магистрали

     Управление, отвечающее магистрали, определяется подстановкой функции  в дифференциальное уравнение развития системы (4.15):

                               .                                            (4.21)

     Из  формулы (4.20) найдем

     

.

     Тогда

     

.

     Так как 

     

,

      то  получим оптимальное управление

      

      в предположении, что .

     Нетрудно  показать, что для специально подобранных  краевых условий, когда они лежат  на магистрали

                                                 и ,                                 (4.22)

      Последняя является оптимальным режимом развития экономики

                                                             .                                    (4.23)

• Действительно, пусть выполняется условие (4.23), тогда процесс оптимален.

     С другой стороны, процесс  является допустимым, поскольку выполняются следующие условия:

• найдено подстановкой в уравнение процесса;
• ;
• граничные условия подобраны специальным образом.

     Отметим, что условие реализуемости  в данной задаче выполняется. Это можно проверить. Для функции Кобба-Дугласа экономической магистралью является кривая постоянного роста капиталовооруженности, пропорционального темпу роста НТП , а оптимальное управление, реализующее эту магистраль, - постоянная величина. Итак, для специально подобранных краевых условий (4.22) магистраль представляет оптимальный режим развития экономики

                                         

.                                     (4.24)

     В других же случаях магистрали в структуре  решения отводится более существенная роль.

     В действительности очень редко краевые  условия принадлежат магистрали. Рассмотрим общий случай.

     Пусть вместо выражения (4.22) имеем

                                           и                                         (4.25)

     Для решения этой задачи применяется прием, отвечающий оптимизации процессов, линейных относительно управления, с ограничениями на управление. В результате найдем

                                               

                                      (4.26)