Принцип максимума

Будем считать, что  размеры валового продукта определяются заданной ПФ, харак-

теризующей возможности  производства в зависимости от величины капитала K, трудовых

ресурсов L и времени t:

0 ≤ X ≤ F (K, L, t). (5.10)

Предполагается, что ПФ F (K, L, t) непрерывна и дважды дифференцируема, при-

чем выполняются  все условия (5.1) - (5.9).

Решение будем  искать при условии

K ≥ KЗ , (5.11)

где KЗ - заданный уровень ОПФ.

Пусть заданы ОПФ  в начальный и в конечный моменты  времени:

K(0) = K0; К(T) = K1. (5.12)

Допустимое множество M в рассматриваемой задаче описывается условиями (5.8) -

(5.12). Допустимый  процесс представлен совокупностью функций

v = (K(t), X(t), u (t)),

удовлетворяющей этим условиям. Здесь Х - состояние экономической системы, u - управ-

ление. Очевидно, что такой процесс не единственный.

Задача управления u1076 данной системой состоит в том, чтобы найти такой процесс

v=(K(t), X(t), u (t)), который обеспечивал бы наибольшее среднедушевое потребление на

исследуемом интервале  времени [0; T] c учетом дисконтированного (приведенному к на-

чальному моменту) потребления:

J=

L

Т С

0 ∫

e-δtdt→max, (5.13)

где δ>0 - коэффициент дисконтирования.

Сделаем замену переменных, приведя их к удельным показателям  на душу населе-

ния. Это позволяет  сопоставлять однородные показатели больших  и малых экономиче-

ских систем. Введем в дифференциальное уравнение (5.8) относительные  переменные:

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО  РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

63

• к = К/L - капиталовооруженность,

• c = C/L- среднедушевое потребление,

• x= X/L - производительность труда.

Так как K = kL, X = xL, то уравнение (5.8) примет вид

dt

dk L + k

dt

dL = (1-a) (1-u) xL - μkL.

Согласно правилу  дифференцирования произведения получим

dt

dК =

dt

dk L + k

dt

dL .

Будем считать, что  прирост трудовых ресурсов осуществляется с постоянным тем-

пом (на не слишком  продолжительном отрезке времени  это реально):

dt

dL =nL.

Тогда

dt

dK =(

dt

dk +kn)L.

Окончательно  дифференциальное уравнение связи в относительных переменных с

учетом (5.8) примет вид

dt

dk =(1-a) (1-u) x - (μ + n)k. (5.14)

Ограничение на управление u остается тем же (5.9):

0 ≤ u ≤ 1,

а ограничение  на производительность труда x примет вид

0 ≤ x = f (k, t), (5.15)

f (k, t) =

L

1 F (K, L, t).

Ограничения на капитал (ОПФ) заменим ограничениями на капиталовооружен-

ность:

k(t) ≥ k3(t). (5.16)

Вытекающие из краевых условий (5.12) начальное и  конечное значения капитало-

вооруженности имеют  вид:

k(0)= k0, k(T) = k1 (5.17)

Преобразование функционала (5.13) к относительным переменным дает

J= -

Т

0 ∫

(1-a)uxeδtdt→min. (5.18)

В задаче (5.9), (5.14) – (5.18) требуется определить процесс v = (k(t), x(t), u(t)), об-

ращающий в  минимум функционал (5.18) на множестве (5.9), (5.14) – (5.17).

Таким образом, в редуцированной задаче состоянием системы является капитало-

вооруженность k (в уравнение процесса (5.14) входит под знаком производной и сама по

себе), а управлением - доля потребления u (в уравнение u1087 процесса (5.14) входит только са-

ма по себе). Производительность труда x определяется по формуле (5.15).

Уравнение процесса (5.14) – дифференциальное уравнение  роста капиталовоору-

женности.

ОДНОПРОДУКТОВАЯ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО  РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИКИ

64

Построенная задача – линейная по управлению u c ограничением на управление

(5.9). Действую  согласно описанию этого типа  задач в разд. 4.5.2, получаем функцию

R(t,k), не зависящую от x:

R(t, k)= e-δt[(1-a) f(k, t) - (μ+n+δ)k].

Введем обозначение r(t,k) = (1-a)ƒ(k,t) - (μ+n+δ)k. Тогда, учитывая, что e-δt>0, мож-

но записать

k*(t) = arg

k

max r(t, k,), ∀ t ∈ [0; T].

Проанализируем  поведение функции r(t, k) по k. Эта функция является суммой