Шпаргалка по эконометрике

n="justify">2ХТY+2aXTX=0

XTY=aXTX

Для погашения  а умножим обе части этого  уравнения на (ХТХ)-1, тогда

а= (XTХ)-1∙XTY

Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и столбцы матрицы Х линейно независимы.

Свойства  оценок МНК.

В тех  случаях, когда предпосылки выполняются, оценки, полученные по МНК, будут обладать свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям.

Для практических целей важна не только несмещенность, но и эффективность оценок. Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией. Поэтому несмещенность оценки должна дополняться минимальной дисперсией.

Степень достоверности доверительных интервалов параметров регрессии обеспечивается, если оценки будут не только несмещенными и эффективными, но и состоятельными. Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

25. Понятие и причины  автокорреляции остаток.  Последствия автокорреляции  остатков. Обнаружение автокорреляции остатков.

Независимость остатков проверяется с помощью  критерия Дарбина – Уотсона.

Корреляционная  зависимость между текущими уровнями некоторой переменной  и уровнями этой же переменной, сдвинутыми  на несколько шагов, называется автокорреляцией. 

Автокорреляция  случайной составляющей нарушает  одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях  проверяют с помощью критерия Дарбина – Уотсона.  Численное  значение коэффициента равно

                                                        

Значение dw статистики близко к величине 2(1 – r(1)), где r(1) - выборочная автокорреляционная функция остатков первого порядка. Таким образом, значение статистики Дарбина - Уотсона распределено в интервале от 0 до 4. Соответственно, идеальное значение статистики - 2 (автокорреляция отсутствует).  Меньшие значения критерия соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие значения - отрицательной. Статистика учитывает только автокорреляцию первого порядка. Оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости α = 0,05 даны в специальных таблицах.  При сравнении расчетного значения dw статистики  с табличным могут возникнуть такие ситуации: d2 < dw < 2 – ряд остатков не коррелирован; dw < d1 – остатки содержат автокорреляцию; d1 < dw < d2 – область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед сравнением с табличными значениями dw критерий следует преобразовать по формуле dw´=4 – dw.

Установив наличие автокорреляции остатков, переходят  к улучшению модели. Если же ситуация оказалась неопределенной (d1 < dw < d2 ), то применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции

.

 Для  принятия решения о наличии  или отсутствии автокорреляции  в исследуемом ряду фактическое  значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, а если фактическое значение больше табличного – делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

26. Проверка качества  многофакторных регрессионных  моделей. Оценка всего уравнения регрессии.

Проверка  гипотез с помощью t – статистик  и F – статистик. Качество регрессионной  модели определяется на основе оценки ее точности. Точность модели оценивается  с помощью средней относительной  ошибки аппроксимации  (%). Предварительно по уравнению модели нужно рассчитать значения  ;  остатки и относительные погрешности   для каждого уровня исходных данных. Модель считается достаточно точной, если  ;  удовлетворительной по точности, если  ;  неудовлетворительной по точности, если  . Замечание.  В качестве меры точности используется также несмещенная оценка дисперсии остаточной компоненты, квадратный корень из которой называется стандартной ошибкой оценки . Здесь n – количество наблюдений;  р – количество факторов, включенных в модель (для парной модели  р = 1).

Коэффициентом детерминации  R2  называется отношение  Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации (изменения) результирующего признака  Y  учтена в модели и объясняется изменением факторных переменных. Свойства  R2: 1)В силу определения  ; 2)R2 = 1: все остатки Ei =0; 3)R2 = 0 - вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных. Чем ближе R2  к 1, тем лучше качество модели, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Замечание .  Коэффициент детерминации  R2  явл-ся универсальной, пригодной для любого типа эконометрической модели (линейной «не», парной, множественной) мерой взаимосвязи между переменными: 1)В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации  R2  равен квадрату коэффициента парной корреляции  ; 2)Для линейной модели множественной регрессии величина    называется коэффициентом множественной корреляции и характеризует тесноту зависимости м/у результирующей переменной и совокупностью учтенных в модели факторов; 3)Для нелинейных регрессионных моделей величина    называется индексом корреляции. Индекс корреляции используется для характеристики тесноты связи м/у переменными в соответствующей нелинейной форме. Для оценки значимости уравнения регрессии (как парной, так и множественной) используется  F- тест Фишера. 1). Вычисляют статистику  ,  где R2 – коэффициент детерминации; n  -  количество наблюдений; p  -  количество факторов, включенных в модель. 2). Критическое значение  Fкр  определяют при заданном уровне значимости  a (обычно 5%) и числах степеней свободы k1=p,  k2= n – p – 1  по таблице критических точек распределения Фишера. 3). Если  , то уравнение модели считается значимым, его использование целесообразно. Если  ,  то уравнение модели значимым не является. После проверки по критерию Фишера значимости уравнения в целом следует провести оценку значимости отдельных параметров данного уравнения с помощью теста Стъюдента. 1). Для каждого коэффициента модели вычисляют t- статистику  . Здесь - стандартное отклонение коэффициента  aj , которое зависит от стандартной ошибки оценки    и формулы вычисления этого коэффициента. Можно показать, что ,  где cj+1 j+1 –  

соответствующий диагональный элемент матрицы  . 2). Критическое значение  tкр  зависит от заданного уровня значимости  a и числа степеней свободы . Его определят по таблице Стъюдента. 3). Если  ,  то соответствующий коэффициент aj  является значимым, переменную  Хj  следует сохранить в модели. Если  ,  то коэффициент aj  значимым не является, нужно исключить переменную  Хj  из модели.

Оценить значимость уравнения регрессии  – это означает установить, соответствует  ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y

Оценка  значимости уравнения регрессии  производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для  практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипотезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная ей гипотеза о значимости уравнения — гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый как  отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с n1= k   и n2 = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель,  больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.Для модели парной регрессии:

                                                                     

В качестве  меры точности применяют несмещенную  оценку дисперсии остаточной компоненты, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n- k -1), где k – количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины  ( ) называется стандартной ошибкой оценки.                                                                                                
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

27. Проверка качества  многофакторных регрессионных моделей. Коэффициент детерминации R2. Скорректированный R2. Проверка гипотез с помощью t – статистик и F – статистик. Качество регрессионной модели определяется на основе оценки ее точности. Точность модели оценивается с помощью средней относительной ошибки аппроксимации (%). Предварительно по уравнению модели нужно рассчитать значения  ;  остатки и относительные погрешности   для каждого уровня исходных данных. Модель считается достаточно точной, если  ;  удовлетворительной по точности, если  ;  неудовлетворительной по точности, если  . Замечание.  В качестве меры точности используется также несмещенная оценка дисперсии остаточной компоненты, квадратный корень из которой называется стандартной ошибкой оценки . Здесь n – количество наблюдений;  р – количество факторов, включенных в модель (для парной модели  р = 1).

Коэффициентом детерминации  R2  называется отношение  Коэффициент детерминации показывает, какая доля вариации (изменения) результирующего признака  Y  учтена в модели и объясняется изменением факторных переменных. Свойства  R2: 1)В силу определения ; 2)R2 = 1: все остатки Ei =0; 3)R2 = 0 - вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных. Чем ближе R2  к 1, тем лучше качество модели, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Замечание .  Коэффициент детерминации  R2  явл-ся универсальной, пригодной для любого типа эконометрической модели (линейной «не», парной, множественной) мерой взаимосвязи между переменными: 1)В случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации  R2  равен квадрату коэффициента парной корреляции  ; 2)Для линейной модели множественной регрессии величина    называется коэффициентом множественной корреляции и характеризует тесноту зависимости м/у результирующей переменной и совокупностью учтенных в модели факторов; 3)Для нелинейных регрессионных моделей величина    называется индексом корреляции. Индекс корреляции используется для характеристики тесноты связи м/у переменными в соответствующей нелинейной форме. Для оценки значимости уравнения регрессии (как парной, так и множественной) используется  F- тест Фишера. 1). Вычисляют статистику  ,  где R2 – коэффициент детерминации; n  -  количество наблюдений; p  -  количество факторов, включенных в модель. 2). Критическое значение  Fкр  определяют при заданном уровне значимости  a (обычно 5%) и числах степеней свободы k1=p,  k2= n – p – 1  по таблице критических точек распределения Фишера. 3). Если  , то уравнение модели считается значимым, его использование целесообразно. Если  ,  то уравнение модели значимым не является. После проверки по критерию Фишера значимости уравнения в целом следует провести оценку значимости отдельных параметров данного уравнения с помощью теста Стъюдента. 1). Для каждого коэффициента модели вычисляют t- статистику  . Здесь - стандартное отклонение коэффициента  aj , которое зависит от стандартной ошибки оценки    и формулы вычисления этого коэффициента. Можно показать, что ,  где cj+1 j+1 –  

соответствующий диагональный элемент матрицы  . 2). Критическое значение  tкр  зависит от заданного уровня значимости  a и числа степеней свободы . Его определят по таблице Стъюдента. 3). Если  ,  то соответствующий коэффициент aj  является значимым, переменную  Хj  следует сохранить в модели. Если  ,  то коэффициент aj  значимым не является, нужно исключить переменную  Хj  из модели. 
 

29. Оценка влияния  отдельных факторов  на зависимую переменную  на основе модели (коэффициенты  эластичности, b - коэффициенты).

Важную  роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий при интерпретации применяются средние частные коэффициенты эластичности Э(j) и бета-коэффициенты b(j).

Эластичность Y по отношению к Х(j) определяется как процентное изменение Y, отнесенное к соответствующему процентному изменению Х. В общем случае эластичности не постоянны, они различаются, если измерены для различных точек на линии регрессии. По умолчанию стандартные программы, оценивающие эластичность, вычисляют ее в точках средних значений: Эластичность ненормирована и может изменяться от -∞ до +∞. Важно, что она безразмерна, так что интерпретация эластичности Эj=2.0 означает, что если изменится на 1%, то это приведет к изменению на 2%. Если Эj=-0.5, то это означает, что увеличение на 1% приведет к уменьшению на 0.5%. Высокий уровень эластичности означает сильное влияние независимой переменной на объясняемую переменную.                                                                 

где Sxj  — среднеквадратическое отклонение фактора  j

где            .

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора j  на один процент. Однако он не учитывает степень колеблемости факторов.

Бета-коэффициент  показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения Sy  изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Хj на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.