Группы автоморфизмов линейной алгебры

    

    Лемма 1. Центр является алгеброй.

    Доказательство. Пусть центр алгебры  , два любых элемента из . Тогда если

    

    то 

    

,

    

    Утверждение доказано. 

    п.2.Уравнения  для нахождения

(центра).

     центр. Пусть  произвольный элемент из  .   базис алгебры над полем P. Для нахождения центра положим

    

(1).

    Умножим (1) сначала справа на , затем слева на и вычтем из первого равенства второе, учитывая что  

                                                   (2)

или

     ,                                         ( )

                                             (3)

                                         (4) 

    

,

                                         (5)

или       

     ,   .                            (6) 

    Заменим в (6)  через структурные уравнения :

     ,               (7)

    Но  так как  составляет базис, т.е. линейно не зависим то из (7) получаем:

     ,   .                            (8)

    Получаем  систему  линейных однородных уравнений с неизвестными .

    Подробнее 

    Найдя  , найдем 

    Пример 1. Пусть Ñ : ,  координат. Единицы ,

      ,  , .

                   

    

    

    

    

    Итак,

    

    

,

    

     любые, т.е.

    Центр совпадает с алгеброй комплексных  чисел, .

    Лемма 3. Если алгебра коммутативная, то и центр совпадает с самой алгеброй. 

    §5. Процедура удвоения чисел

    Существуют различные подходы к определению комплексных чисел, все они сводятся к определению комплексного числа как пары вещественных чисел, для которых определяются операции сложения и умножения. Мы определяем комплексные числа как линейные алгебры, поскольку такой подход позволяет определить процедуру «удвоения» чисел: удвоение вещеcтвенных чисел дает комплексные числа, удвоение комплексных чисел – кватернионы, удвоение кватернионов – октавы и т.д.

    Начнем  с некоторого анализа системы  кватернионов. Произвольный кватернион 

можно представить, пользуясь тем, что , в виде 

или 

где

    Посмотрим, как при таком способе изображения  кватернионов запишется их закон  умножения.

    Пусть наряду с задан еще один кватернион 

    Перемножив  и получим

                                                         (1)

(мы убрали скобки в произведениях, так как умножение кватернионов обладает свойством ассоциативности). Заметим теперь, что поскольку то т.е.

    Кроме того, легко проверить, что любые  два элемента и   вида перестановочны: 

    Исходя  из этих свойств, можно переписать второе и третье слагаемые в правой части (1) соответственно в виде   и , а вместо четвертого слагаемого написать , или Следовательно,

                       (2)

    Обращаясь к представлению кватернионов виде , отметим один важный момент. Поскольку, , то все , в частности, и , можно трактовать как комплексные числа. Вместе с формулой (2) это приводит нас к такому заключению:

    Кватернионы можно определить как выражения  вида , где , произвольные комплексные числа, а некоторый символ, причем закон умножения таких выражений задается формулой (2).

    Комплексные, двойные, дуальные числа и кватернионы охватываются более общим понятием гиперкомплексной (сверхкомплексной)  системы чисел.

    Введем  ряд определений. Пусть задана гиперкомплексная система U, состоящая из чисел вида  

с некоторым  законом умножения.

          Условимся называть элемент 

сопряженным к .

    Удвоением системы U называется новая гиперкомплексная система U ⁽²⁾ размерности вдвое большей (чем U), которая строится следующим образом. Ее элементы представляют собой выражения вида

    ₁+₂,                                       (3)

где  ₁,₂ – произвольные элементы из U, а - некоторый символ. Сложение элементов из U ⁽²⁾ производится естественным образом:

          ( ₂                          (4)

а  умножение  определяется по формуле

         ( ₂            (5)

(черта обозначает сопряжение в U ).

    Определяя систему U ⁽²⁾, мы отступили, во-первых, от обычного способа записи гиперкомплексных чисел, и, во вторых, от задания умножения с помощью таблицы. Числа из U ⁽²⁾ должны были бы иметь вид

    ,           (6)

однако  мы предпочитаем более короткую запись (3). Дело в том, что каждому выражению (6) можно сопоставить два элемента исходной гиперкомплексной системы:

     ,

     ,

а значит, и выражение (3) (оно является как  бы «кодом» гиперкомплексного числа (6)); и обратно, разумеется, если задано выражение вида (6), то по нему можно  составить (3). Краткая запись (3) по сравнению  с (6) имеет существенное преимущество; вместо того, чтобы задавать умножение  в U ⁽²⁾ с помощью таблицы мы можем записать его в обозримой форме (5). Конечно, из формулы (5) можно извлечь таблицу умножения «мнимых единиц» В общем виде заниматься этой таблицей мы не будем, но для наиболее интересующего нас случая октав приведем ее дальше полностью.

    Итак, мы определили процедуру удвоения. Примером может служить переход  от комплексных чисел к кватернионам: то, что было сделано в начале, фактически означает, что система  кватернионов есть удвоение системы комплексных чисел.  
 

    §6. Группы автоморфизмов алгебр 

    Пусть A_n – произвольная конечномерная алгебра над полем R или C, и пусть ее базис. Ясно, что обратимое линейное отображение A_nAn тогда и только тогда является автоморфизмом алгебры A_n , когда   для любых . Следовательно, если и и, значит,  
 

то  тогда и только тогда является автоморфизмом когда  

для любых  Это означает, что матрицы (), соответствующие автоморфизмам алгебры A_n , составляют алгебраи-ческую и, значит, гладкую группу. Таким образом, задание базиса определяет изоморфизм группы автоморфизмов AutA_n  алгебры A_n на некоторую матричную алгебраическую группу Ли. Перенесенная в AutA_n с помощью этого изоморфизма структура группы Ли не зависит, очевидно, от выбора базиса . Таким образом, группа AutA_n автоморфизмов произвольной конечномерной алгебры A_n является группой Ли.

          Найдем алгебру  Ли этой группы.

    Теорема 1. Алгеброй Ли группы AutA_n  является алгебра Ли Der A_n всех дифференцирований алгебры A_n :

    g( AutA_n) = Der A_n

    Доказательство. Выбрав в A_n произвольный базис, мы можем считать группу Aut A и алгебру Ли Der A состоящими из матриц.

    Пусть D Der A . Тогда для любых элементов x, y A  и любого p 0 будем иметь место равенство

      (формула Лейбница), а значит и равенство 

()

(сходимость  всех рядов обеспечивается стандартными вычислениями с матричными нормами). Это означает, что Aut A и, значит, что (Aut A )