Группы автоморфизмов линейной алгебры

    Лемма 1. Для любых элементовтаких, что:

1. ортогонален ,
2. ортогонален ,  и  ,

существует (очевидно, единственный) автоморфизм алгебры Ca, для которого  , .

    Доказательство. Так как и , то и , а так как , то . Поэтому значит, (поскольку ). Следовательно, . Кроме того, в силу альтернативности   и , а положив в (2) и , мы получим, что откуда следует, что Поскольку, аналогично, , мы видим, что, умножая в любом порядке и в любом числе элементы и , мы будем получать лишь элементы и . Это означает, что элементы вида

    

составляют  подалгебру H алгебры Ca, имеющую размерность 4 и, значит, по доказанному выше, являющуюся ассоциативной, алгеброй. Но тогда легко видеть, что соответствия определяют изоморфизм алгебры кватернионов H на алгебру H .

    Далее, элемент  , ортогональный по условию элементам 1, , и , ортогонален всей алгебре. Поэтому для него имеют место тождество (3). продолжается до гомоморфизма (в котором алгебры Ca на подалгебру, порожденную подалгеброй H и элементом . Так как любой ненулевой гомоморфизм унитальной алгебры с делением необходимо является мономорфизмом и так как любое мономорфное отображение конечномерной алгебры в себя необходимо является автоморфизмом (ибо инъективный линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, биективен), то, следовательно, нами построен автоморфизм переводящий элементы i, j, e в элементы

    Лемма доказана.

    Из  леммы 1, в частности, следует, что  группа G₂ = AutCa транзитивно действует на сфере , т. е. что отображение , определенное формулой надъективно. Это означает, что сфера диффеоморфна фактормногообразию группы G₂ по подгруппе К, состоящей из всех автоморфизмов, оставляющих на месте элемент i:

    

.

    Для любого автоморфизма элемент из ортогонален элементу i и, значит, принадлежит некоторой пятимерной сфере (экватору сферы с полюсом i). При этом, согласно лемме 1, отображение) группы K на сферу надъективно. Следовательно,

    

,

где L – подгруппа группы K, состоящая из автоморфизмов, оставляющих на месте элемент j.

    Но  для автоморфизмов Ф из L элемент из ортогонален элементам i, j, k т. е. принадлежит некоторой трехмерной сфере . При этом, согласно той же лемме 1, отображение представляет собой диффеоморфизм группы L на сферу :

    

На топологическом языке все это означает, что  группа G₂ расслаивается над сферой на многообразия, диффеоморфные группе К, которые в свою очередь расслаиваются над сферой трехмерные сферы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 

    В данной курсовой работе:

• рассмотрены основные понятия линейной алгебры.
• определена суть процедуры удваивания: удвоение вещеcтвенных чисел дает комплексные числа, удвоение комплексных чисел – кватернионы, удвоение кватернио-нов – октавы и т.д.
• дана общая теория групп автоморфизмов линейных алгебр
• найдены группы автоморфизмов двойных и дуальных чисел, кватернионов
• определена группа автоморфизмов комплексных чисел
• описана алгебра октав: приведена таблица Кэли и найдены структурные константы.
• сформулирована и доказана основная  лемма об автоморфизмах алгебры октав.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    ЛИТЕРАТУРА 

    

1. Александров Н.Д. Избранные вопросы теории групп. Изд. 2-е, перераб. и дополн. / Учебно-дидактический комплекс. – Бирск: БГПИ, 2002. – 112 с.
2. Александров Н.Д. Лекции по общей алгебре(рукопись), 4 семестр, кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики, 2010г., Бирск: БГСПА, 2010.  – 150 с.
3. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. – М.:ГИФМЛ, 1962. – 516 с.
4. Вейль Г. Классические группы их инварианты и представления. – М.:ГИИЛ, 1947. – 408 с.
5. Джекобсон Н. Алгебры Ли. – М.: Мир, 1964. – 355 с.
6. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И.. Алгебра и теория чисел. Часть 2. – Киев: Высшая школа, 1980. – 408 с.
7. Калужнин Л.А. Введение в общую алгебру. – М.: Наука, 1973. – 448 с.
8. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа  – М.: Наука, 1973. –150 с.
9. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры: Учебник для вузов. – 3-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 272 с.
10. Плоткин Б.И. Группы автоморфизмов алгебраических систем.– М.: Наука, 1966. – 604 с.
11. Постников М.М.   Группы и алгебры Ли. – М.: Наука, 1982г. – 448 c.
12. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.– М.: Мир, 1969. – 376c.
13. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. – М.-Л.: Гостехиздат, 1940. – 396 c.
14. Шевалле Кл. Теория групп Ли, I: Пер. с англ. – М.: ИЛ, 1948. – 315 c.

 

    ОГЛАВЛЕНИЕ

                                                                                                             Стр.

Введение  ……………………………………………………………….  3

Глава 1. Основные  понятия алгебры   …………………………....   5

  § 1. Линейная алгебра   ……………………………………...............   5

      п.1. Понятие линейной алгебры   ………………………………...   5

      п.2. Виды линейных алгебр   ……………………………………..   5

  § 2. Структурные уравнения и структурные константы   ………...   7

 § 3. Понятие главной единицы алгебры   …………………………..   7

 § 4. Центр алгебры   ………………………………………………….   8

      п.1. Понятие центра алгебры   ..………………………………….    8

      п.2.Уравнения для нахождения (центра)   ……………………    9

  §5. Процедура удвоения чисел   ….………………………………...    10

  §6. Группы автоморфизмов алгебр   …………………………….....    14

Глава 2. Группы автоморфизмов классических алгебр   ……...    17

  §1. Группа автоморфизмов алгебры комплексных чисел R (i) ….    17

  §2. Группа автоморфизмов алгебры двойных чисел R (е) ……….   19

  §3. Группа автоморфизмов алгебры дуальных чисел R (ε)   ……..    20

  §4. Группа автоморфизмов тела кватернионов L   ……….……….    20

  §5. Алгебра октав   …………………………………………………..   22

       п.1. Понятие октавы   …………………………………………….   22

       п.2. Таблица Кэли для алгебры октав   ……………………….…   22  

       п.3. Структурные уравнения и структурные константы  ……...    24 

  §6  Тождества в алгебре октав Ca. Подалгебры алгебры октав Ca. 

        Группа Ли   …………………………………………………........    32

Заключение   ………………………………………………………....    38

Литература   ………………………………………………………….    39