Группы автоморфизмов линейной алгебры

    МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

    ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

    ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

    ГОСУДАРСТВЕННАЯ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ 

    Физико-математический факультет 

    Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики 
 
 
 

                                     Курсовая работа

                                      на тему:

      
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                  Выполнила: студентка 3 курса очного    

                                                                   отделения физико-математического     

                                                                   факультета

                                Факкарова И.Ш.

      Научный руководитель: к.ф.-м.н.,

                                                                      профессор БГСПА, член –

      корреспондент   МАНПО

                           Александров Н.Д. 

    Бирск 2011 

    ВВЕДЕНИЕ 

    Роль  автоморфизмов хорошо известна. При  изучении всевозможных специальных  математических структур алгебраического, геометрического или даже внематематического происхождения встречаются разного  рода симметрии, играющие важную роль. Все эти симметрии учитываются  и описываются на языке автоморфизмов. Поэтому группа автоморфизмов конкретной математической структуры во многом определяет ситуацию в самой структуре. Общеизвестно также, что со времен эрлангенской программы группы автоморфизмов  используются и для классификации  и систематизации различных математических объектов.

     Получение новых результатов, касающихся групп автоморфизмов конкретных алгебр, представляет несомненный интерес. Именно этой задаче посвящается настоящая курсовая работа.

     Целью курсовой работы является раскрытие общих понятий теории группы автоморфизмов линейных алгебр и их основных особенностей.

     Перейдем  к краткому изложению результатов  курсовой работы, которая включает в себя введение, две главы, заключение и список использованной литературы.

       Первая глава является вспомогательной. Здесь приводятся основные определения, обозначения и результаты, используемые в дальнейшем. Состоит эта глава из шести параграфов.

     В первом параграфе рассматриваются  два пункта. В них кратко даны понятия линейной алгебры и перечислены виды линейных алгебр.

     Во  втором параграфе определен общий  вид структурных уравнений и  структурных констант.

     В третьем параграфе дано понятие  главной единицы алгебры.

     Четвертый параграф состоит из двух пунктов. В  первом пункте дано определение центра алгебры и приведены две леммы, одна из которых доказана. Второй пункт посвящен уравнениям для нахождения центра, который далее закреплен примером.

     В пятом параграфе описана процедура  удвоения чисел. Здесь мы убеждаемся, что удвоение вещеcтвенных чисел дает комплексные числа, удвоение комплексных чисел – кватернионы, удвоение кватернионов – октавы и т.д.

     В шестом параграфе дана общая теория групп автоморфизмов линейных алгебр. Доказана теорема о алгебре Ли группы автоморфизмов группы Ли.

     Вторая глава, которая является основной, состоит из шести параграфов. Здесь подробно с доказательствами найдены группы автоморфизмов алгебры комплексных, двойных, дуальных чисел, кватернионов и октав.

     В первом параграфе определена группа автоморфизмов комплексных чисел. Сделано это подробно.

     Во  втором, в третьем и в четветром параграфах аналогично найдены группы автоморфизмов двойных и дуальных чисел, кватернионов.

     Пятый параграф состоит из двух пунктов, в которых описана алгебра октав: приведена таблица Кэли и найдены структурные константы.

     В шестом параграфе сформулирована и доказана основная  лемма об автоморфизмах алгебры октав.

     В работе использовано 14 источников литературы.

    Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ  

    § 1. Линейная алгебра 

     п.1. Понятие линейной алгебры

    Рассмотрим  непустое множество А. Пусть на нем определены внутренние бинарные операции сложения, умножения и внешняя унарная операция умножения элементов множества А на числа из поля P. 

    Определение 1. Линейной алгеброй (или гиперкомплексной системой) называется алгебра A =(A; +, ·, f_λ), которая:

    1) относительно сложения и умножения  образует кольцо, т.е.    (A; +, · ) - кольцо; 

    2) (А; +, f_λ ); - векторное пространство;

    3) умножение и f_λ связаны соотношениями билинейности: (λa)b=λ(ab).

    Таким образом, алгеброй называется упорядоченная пара             A =(A, Ω), где А - непустое множество и Ω - множество операций на множестве А. Множество А называется носителем алгебры.

    Алгебра A  называется конечномерной или ∞-мерной в зависимости от того, конечномерно или ∞-мерно векторное пространство .

    Размерность векторного пространства называется размерностью алгебры A   или рангом алгебры A   

    dim A = rang A = п. 

     п.2. Виды линейных алгебр

    Алгебра A_n называется коммутативной, если выполняется условие:

    (

a,b A_n) [a×b=b×a].

    Алгебра A_n называется антикоммутативной, если квадрат любого ее элемента равен нулю. В этом случае для любых а и b из алгебры À_n выполнено соотношение:

    a× b= -b×a, т.к. 0=(а + b) × (а + b) = a²+a×b+b×a+b².

    Алгебра называется алгеброй Ли, если она антикоммутативна и для любых ее элементов выполнено соотношение Якоби:

    a× (b× c)+b× (c× a)+c× (a× b)=0.

    Алгебра A_n называется ассоциативной, если выполняется условие:

    

.

    Алгебра A_n называется альтернативной, если выполняется условие:

      Алгебра A_n называется алгеброй с делением, если выполняется условие:

.

    Считается, что элемент  называется левой единицей, если   ·а=а, ; правой единицей, если а· =а, ; двусторонней или главной единицей в A_n , если выполняется: ·а = а · = a , .

    Алгебра A_n называется унитальной (унитарной), если она имеет главную единицу .

    Четырехмерная единственная ассоциативная, но некоммутативная, конечномерная нормированная алгебра  над полем действительных чисел R, обладающая единицей называется алгеброй кватернионов. Обозначается Q. Алгебра кватернионов - тело, т.е. в ней определено деление. Тело кватернионов - единственная конечно-мерная ассоциативная, но не коммутативная алгебра без делителей нуля.

    § 2. Структурные уравнения и структурные константы 

    Размерность векторного пространства A называется размерностью или рангом алгебры, а поле P – считать полем действительных чисел R.

    Если  в пространстве выбран базис  , то он называется базисом алгебры. Любой элемент алгебры A можно записать в виде:

    

.

    Таким образом  , где R, =1,2,…, n. Умножение элементов алгебры однозначно определяется заданием произведений базисных элементов .

    Действительно, если , то

    

.

    Здесь A, значит  A и поэтому

                                        (1)

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнения (1) называются структурными уравнениями алгебры, а величины структурными константами алгебры. 
 

    § 3. Понятие главной  единицы алгебры 

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Считается, что элемент называется левой единицей, если ·а=а, ; правой единицей, если а· =а, ; двусторонней или главной единицей в A_n, если выполняется:                ·а = а · = a , .

    Главная единица ε в алгебре единственна. В самом деле, если  другая единица, то .

    Существование единицы – это несущественные ограничения. Если алгебра без единицы, то к ней единицу всегда можно  “присоединить”.

    Алгебра A_n называется унитальной (унитарной), если она имеет главную единицу . 

    § 4. Центр алгебры 

     п.1.Понятие центра алгебры.

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Центром алгебры называется совокупность   из , перестановочных со всеми элементами алгебры ,