Комбинаторика в нашей жизни

 
  
  
  
  
  
  

КОМБИНАТОРИКА В НАШЕЙ

ЖИЗНИ  
  
  
  

 
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание

Введение……………………………………………………………………….…..3 

1. Понятие  о науке «Комбинаторика» …………………………………………..5 

2. Комбинаторика  в различных областях жизнедеятельности  человека……...8 

2.1. Музыкальная  комбинаторика ………………………………………………8

2.2. Мебельная  комбинаторика ...………………………………………………10

2.3. Математика  на шахматной доске …………………………..……….....…..11

2.4. Пароли и  коды в нашей жизни …………………………………………….13 

3. Выбор нескольких  элементов

3.1. Сочетания  в нашей жизни …........................................................................14

3.2. Примеры решения  задач на нахождение числа  сочетаний .……………..20 

Заключение ……………………………………………………………………..25

Литература……………………………………………………………………….26

Приложения ……………………………………………………………………..27  
                                                       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение                                        

"Число, положение  и комбинация -                                       

три взаимно пересекающиеся, но                                       

различные сферы  мысли, к которым                                        

можно отнести все  математические                                       

идеи".                                                            

 Дж. Сильвестр (1844 г.)     

Человеку  часто приходится иметь дело с  задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число  всех возможных способов осуществления  некоторого действия. Разные пути или  варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные  комбинации. Такие задачи приходиться  рассматривать при определении  наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической системы управления, значит и в  теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными  приложениями. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском  ответов на вопросы: сколько всего  есть комбинаций в том или другом случае.     

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая  комбинации и перестановки предметов, казалось, долгое время лежала вне основного русла развития математики и ее приложений. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находят отражение и в школьном курсе математики. [8].     

В нынешнее время комбинаторика имеет  огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому –  химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.      

Объект  исследования: область математики – комбинаторика.     

Цель: исследования: показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.      

Гипотеза: комбинаторика имеет широкий спектр практической направленности.     

Задачи  исследования:     

- собрать, изучить и систематизировать  материал о комбинаторике.      

-рассмотреть   использование комбинаторики в  различных сферах жизнедеятельности     

- рассмотреть как элементы комбинаторики,  в частности сочетания, используются  при решении различных жизненных  ситуаций;     

- показать практическую значимость  комбинаторики как области математики.  

1. Понятие о науке  «Комбинаторика»                                       

"Вперёд поедешь  — голову сложишь,                                       

направо поедешь  — коня потеряешь,                                       

налево поедешь  — меча лишишься"     

Человеку  часто приходится иметь дело с  задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число  всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации.     

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая  комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. На протяжении двух с половиной столетий основную роль в изучении природы играл математический анализ. Процессы, имевшие атомистическую природу, заменялись непрерывными, чтобы можно было применить к ним развитый аппарат математики. Положение коренным образом изменилось после создания быстродействующих вычислительных машин, компьютеров. С их помощью стало возможным  делать переборы, ранее требовавшие сотен и тысяч лет. В эпоху расцвета  дискретной математики изменилась и роль древнейшей области дискретной математики – комбинаторики. Из области, интересовавшей большей частью составителей занимательных задач и находившей основные применения в кодировании и расшифровке древних письменностей, она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки. Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [8].     

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать  их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение  охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов –  во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений  все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании. [3].     

Одним из первых занялся подсчетом числа  различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [9].     

Со  временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.     

Задача, в которых идет речь о тех или  иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.     

Комбинаторика как наука стала развиваться  в VIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. [15].     

В 1896 году американский математик Элиаким Гастингс Мур (1862-1932)    ввёл    термин тактическая конфигурация в статье "Tactical memoranda", понимая под этим термином систему n множеств, содержащих, соответственно, a1, a2, … , an элементов. К тактическим конфигурациям Мур относит сочетания, размещения, системы решений задачи Киркмана о 15 школьницах, подгруппы некоторых групп. Он демонстрирует широкий спектр задач из геометрии, теории групп, которые приводят к тактическим разложениям или используют тактические разложения. Мур обогатил список известных комбинаторных конфигураций. (Приложение №1)     

Термин "тактика" ввёл в математику английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897) в 1861 году. Сильвестр определял тактику как раздел математики, изучающий расположение элементов друг относительно друга. В сфере этого раздела находится, по мнению Сильвестра, теория групп, комбинаторный анализ и теория чисел. (Приложение №2) [11].     

В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика «добилась» новых успехов. Так, с помощью ЭВМ была решена комбинаторная задача, известная под названием «проблема четырех красок»: удалось доказать, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две страны, имеющие общую границу, не будут окрашены в один и тот же цвет [12].     

2. Комбинаторика в  различных областях  жизнедеятельности  человека     

2.1. Музыкальная комбинаторика                                             

А вот и Моцарт по сотовому.                                             

В сотый раз, но только начало.                                             

Из ожиданий соткана,                                             

Внезапно музыка звучала.                                             

А дальше что-то личное,                                             

Тут даже Моцарт лишний,                                             

Людских страстей излишества                                             

Для пересудов пища…                                               

Минута встреч эфирная,                                             

Итоги эфемерные,                                             

А музыка красивая,                                             

В ней вечности – немерено.                                                          

 Виктор Бабковский      

В знаменитой книге Германа Гессе  «Игра в бисер» есть соображения  о внутренней связи музыки с математикой. В работе Марины Радославовны говорится, что комбинаторика связана с построением музыкальной ткани из мельчайших элементов. Расположение элементов идет по трем координатам – вертикали, горизонтали и диагонали фактуры. Диагональ можно сравнить с глубиной. Движение внутри ансамбля по разным тембрам дает диагональ. В фактуре это надо увидеть, что связано с определенными способностями, подготовкой. [7]