Линейное пространство, свойства ЛП.

 17. Линейное пространство, свойства ЛП.

 Линейным  пространством называется множество V= (x;y;z…) если выполняются следующие аксиомы:

     1) любым двум элементам  соответствует третий элемент   называемый суммой элементов (внутренняя операция);

     2) каждый элемент можно умножить на любое число : (внешняя операция).

 Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

 I.

 II.

 III.  (нулевой элемент, такой, что ).

 IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что

 V.

 VI.

 VII.

 VIII.

 Примеры линейных пространств:

 1) пространство 

 2). Непрерывные  (действительные или комплексные)  функции на некотором отрезке  [a, b] с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа образуют линейное пространство C[a, b], являющееся одним из важнейших в анализе и уже встречавшееся вам, например, при изучении функциональных рядов.

 Свойства  ЛП

Пусть V — произвольное ЛП.

(1) Нулевой элемент 0 ∈ V единствен.

(2) ∀ x ∈ V противоположный элемент x_ единствен.

(3) ∀  x, y, z ∈ V : x + z = y + z ⇒  x = y.

(4) ∀ x ∈ V : 0 ・ x = 0.

(5) ∀ x ∈ V противоположный элемент x’ равен (−1) ・ x = −x.

Доказательства  свойств:

(1) Допустим, что  ∃ 0’ ≠ 0 такой, что ∀ x∈ V : 0’ + x = x. Положим x = 0; тогда 0’ + 0 = 0. С другой стороны, по определению 0, 0’ + 0 = 0’. Итак, 0’ = 0.

(2) Пусть x’, x’’ — два различных противоположных элемента для x. Тогда x’’ = x’’ + 0 = x’’ + (x + x’) = (x’’ + x) + x’ = 0 + x’ = x’.

(3) Прибавим к  обеим частям равенства x+z = y +z единственный противоположный элемент z’ для элемента z: x + z = y + z ⇒ x + z + z’ = y + z + z’ ⇒ x + 0 = y + 0 ⇒ x = y.

(4) 0 ・ x + x = 0・ x + 1 ・ x = (0+1)x = 1・ x = x = 0 + x ⇒ 0 ・ x = 0.

(5) Положим  y = (−1) ・ x. Тогда x + y = 1・ x + (−1) ・ x = (1+(−1))x = 0・ x = 0 ⇒ y —противоположный для x.