Оглавление

Теоретическая выкладка 2

Задание 4

Решение 5

1) Полином 3-й степени Y(x) 5

2) Тригонометрическая функция  10

3) Логарифмическая функция  13

4) Степенная функция  16

5) Показательная функция  19

Вывод 24 
 

 

  Теоретическая выкладка

  Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость  найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

  При аналитическом исследовании взаимосвязи  между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате, получается таблица значений: 

 

  Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых  (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.

  Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид  обычно неизвестен, поэтому возникает  практически важная задача - найти  эмпирическую формулу 

                                                      (2.1.1)

  (где  - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .

  Обычно  указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных  и т.п.) из которого выбирается функция  , и далее определяются наилучшие значения параметров.

  Если  в эмпирическую формулу (2.1.1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где .

  Разности  называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек   до графика эмпирической функции.

  Согласно  методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами   считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции будет минимальной.

                                    (2.1.2)

  Построение  эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

  Если  неизвестен характер зависимости между  данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным.

    Большое значение имеет изображение  полученных данных в декартовых  или в специальных системах  координат (полулогарифмической,  логарифмической и т.д.). По положению  точек можно примерно угадать  общий вид зависимости путем  установления сходства между  построенным графиком и образцами  известных кривых.

  Для того, чтобы найти набор коэффициентов  , которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используется необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных.  В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

                          (2.1.3)

  Таким образом, нахождение коэффициентов  сводится к решению системы (2.1.3). Эта система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

 

Задание

Получить  функциональную зависимость по экспериментальным данным по методу наименьших квадратов.

Функцию представить в виде:

1. Полинома 3-й степени Y(x)=
2. Тригонометрической 
3. Логарифмической
4. Степенной
5. Показательной

 

Экспериментальные данные:

 

Рассчитать  относительные погрешности по каждому  типу функций.

 

Решение

Для расчетов будем использовать среду Microsoft Office Excel.

1. Полином 3-й степени Y(x)=

Полином выглядит, как .

Определим коэффициенты , входящих в эмпирическую формулу.

Так как  известно, что они должны доставлять минимум функции S, составим уравнение: 
 

Воспользуемся необходимым условием экстремума функции  нескольких переменных - равенством нулю частных производных. 
 
 
 

Исходя  из полученных результатов, можем составить  нормальную систему.

Примечание: n=16 – это количество экспериментов.

Теперь  с помощью Excel произведем расчет сумм. Для этого:

1. занесем в столбик экспериментальные значения x и y;

2. в соседних столбцах посчитаем значения i-х элементов сумм, с помощью формул используя ссылки на значения x и y в построчном соответствии;

3. с помощью  функции Excel “СУММ” найдем суммы;

В общем  виде это будет выглядеть так:

 

Посчитав  значение сумм, подставим их в нормальную систему: 
 

На данном этапе нахождение коэффициентов сводится к решению системы. 

Для решения  используем метод Крамера:

1. Отдельно создадим таблицы всех определителей. Значения элементов возьмем из основной таблицы, делая ссылки на значения сумм. Для этого, с помощью оператора “=”(присваивания) сделаем ссылки на ячейки основной таблицы.

2. Для того чтобы посчитать значения определителей  надо использовать математическую функцию  Excel “МОПРЕД”, которая возвращает значение определителя матрицы.

D= 5,46045E+12, D=1,6032E+13, D=-1,6625E+12, D=9,19101E+11, D=-5,4554E+10.

3. Имея значения определителей, можем посчитать значения искомых переменных системы. Для этого в ячейках надо записать: = ссылка на ячейку со значением определителя переменной / ссылка на ячейку со значением основного определителя. Получим:

= 2,936017, = -0,30447, = 0,16832, = -0,00999 .

Найдя коэффициенты подставим их в формулу полинома и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).