Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Октября 2011 в 00:21, контрольная работа
Рассчет относительных погрешностей методом наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных по заданным формулам.
Теоретическая выкладка
Задание
Решение
1) Полином 3-й степени Y(x)
2) Тригонометрическая функция
3) Логарифмическая функция
4) Степенная функция
5) Показательная функция
Вывод
Посчитав
значение сумм, подставим их в нормальную
систему:
На данном этапе нахождение коэффициентов сводится к решению системы.
Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D= 149,9896, D= 172,5884, D= 17,13305.
Коэффициенты: = 1,150669, а exp( 3,160305;
= 0,114228.
Найдя
коэффициенты
, подставим их в степенную
формулу и вычислим значение аппроксимированных
Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу
и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
| № | X | Yэксп | Yапрокс |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 3,160305 |
| 3 | 2 | 5 | 3,420702 |
| 4 | 3 | 9 | 3,58286 |
| 5 | 4 | 8 | 3,702553 |
| 6 | 5 | 3 | 3,798142 |
| 7 | 6 | 1 | 3,878072 |
| 8 | 7 | 0 | 3,946964 |
| 9 | 8 | 1 | 4,007628 |
| 10 | 9 | 6 | 4,061912 |
| 11 | 10 | 13 | 4,111093 |
| 12 | 11 | 10 | 4,156095 |
| 13 | 12 | 8 | 4,19761 |
| 14 | 13 | 5 | 4,236165 |
| 15 | 14 | 2 | 4,272177 |
| 16 | 16 | 0 | 4,33784 |
Вычислим относительную погрешность.
D76%
Определим коэффициенты входящих в полученную формулу.
Так как известно,
что они должны доставлять минимум
функции S, составим уравнение:
Воспользуемся
необходимым условием экстремума функции
нескольких переменных - равенством нулю
частных производных.
Исходя
из полученных результатов, можем составить
систему.
Из полученной системы видно, что при общем способе решения будет сложено найти значения коэффициентов. По этому при решении формулы введем замену.
и , тогда
Прологарифмируем
функцию. Приведем эмпирическую формулу
в линейный вид. Для этого прологарифмируем
левую и правую части формулы.
Определим коэффициенты входящих в полученную формулу.
Cоставим уравнение
функции S:
Воспользуемся
необходимым условием экстремума функции
нескольких переменных - равенством нулю
частных производных.
Исходя
из полученных результатов, можем составить
нормальную систему.
Теперь аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем расчет сумм.
Расчет будет выглядеть так:
| №\пер. | X | Y | X^2 | LN(Y) | X*LN(Y) | EXP(X) | Y1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 3,439561 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 0,693147 | 0,693147 | 2,718282 | 3,495548 |
| 3 | 2 | 5 | 4 | 1,609438 | 3,218876 | 7,389056 | 3,552445 |
| 4 | 3 | 9 | 9 | 2,197225 | 6,591674 | 20,08554 | 3,610269 |
| 5 | 4 | 8 | 16 | 2,079442 | 8,317766 | 54,59815 | 3,669034 |
| 6 | 5 | 3 | 25 | 1,098612 | 5,493061 | 148,4132 | 3,728756 |
| 7 | 6 | 1 | 36 | 0 | 0 | 403,4288 | 3,789449 |
| 8 | 7 | 0 | 49 | 1 | 7 | 1096,633 | 3,851131 |
| 9 | 8 | 1 | 64 | 0 | 0 | 2980,958 | 3,913816 |
| 10 | 9 | 6 | 81 | 1,791759 | 16,12584 | 8103,084 | 3,977522 |
| 11 | 10 | 13 | 100 | 2,564949 | 25,64949 | 22026,47 | 4,042265 |
| 12 | 11 | 10 | 121 | 2,302585 | 25,32844 | 59874,14 | 4,108062 |
| №\пер. | X | Y | X^2 | LN(Y) | X*LN(Y) | EXP(X) | Y1 |
| 13 | 12 | 8 | 144 | 2,079442 | 24,9533 | 162754,8 | 4,174929 |
| 14 | 13 | 5 | 169 | 1,609438 | 20,92269 | 442413,4 | 4,242885 |
| 15 | 14 | 2 | 196 | 0,693147 | 9,704061 | 1202604 | 4,311948 |
| 16 | 16 | 0 | 256 | 1 | 16 | 8886111 | 4,453463 |
| СУММА | 121 | 73 | 1271 | 21,71918 | 169,9983 | 10788602 |
Посчитав
значение сумм, подставим их в нормальную
систему:
На данном этапе нахождение коэффициентов сводится к решению системы. Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D= 5695, D= 7035,284, D= 91,95219.
Коэффициенты: = 1,23534393, а exp( 3,43956128;
= 0,01614613.
Расчет будет выглядеть так:
| №\пер. | X | Y | Y2 |
| 1 | 0 | 0 | 6,7664E-06 |
| 2 | 1 | 2 | 1,8393E-05 |
| 3 | 2 | 5 | 4,9997E-05 |
| 4 | 3 | 9 | 0,00013591 |
| 5 | 4 | 8 | 0,00036943 |
| 6 | 5 | 3 | 0,00100422 |
| 7 | 6 | 1 | 0,00272976 |
| 8 | 7 | 0 | 0,00742026 |
| 9 | 8 | 1 | 0,02017036 |
| 10 | 9 | 6 | 0,05482871 |
| 11 | 10 | 13 | 0,14903989 |
| 12 | 11 | 10 | 0,40513242 |
| 13 | 12 | 8 | 1,10126408 |
| 14 | 13 | 5 | 2,99354614 |
| 15 | 14 | 2 | 8,13730208 |
| 16 | 16 | 0 | 60,1269816 |
Тогда
с = 6,7664E-06.
Найдя коэффициенты , подставим их в показательную формулу и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
| № | X | Yэксп | Yапрокс |
| 1 | 0 | 0 | 3,439568 |
| 2 | 1 | 2 | 3,495566 |
| 3 | 2 | 5 | 3,552495 |
| 4 | 3 | 9 | 3,610405 |
| 5 | 4 | 8 | 3,669403 |
| 6 | 5 | 3 | 3,72976 |
| 7 | 6 | 1 | 3,792179 |
| 8 | 7 | 0 | 3,858551 |
| 9 | 8 | 1 | 3,933987 |
| 10 | 9 | 6 | 4,032351 |
| 11 | 10 | 13 | 4,191305 |
| 12 | 11 | 10 | 4,513194 |
| 13 | 12 | 8 | 5,276193 |
| 14 | 13 | 5 | 7,236432 |
| 15 | 14 | 2 | 12,44925 |
| 16 | 16 | 0 | 64,58044 |
Вычислим относительную погрешность.
D45,4%
В этой работе я применил метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных по заданным формулам. Рассчитал их относительные погрешности:
Это вызвано тем, что я не выяснял общего вида формул оптимально подходящих для аппроксимирования, а использовал готовые функциональные зависимости
Информация о работе Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных