Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Октября 2011 в 00:21, контрольная работа
Рассчет относительных погрешностей методом наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных по заданным формулам.
Теоретическая выкладка
Задание
Решение
1) Полином 3-й степени Y(x)
2) Тригонометрическая функция
3) Логарифмическая функция
4) Степенная функция
5) Показательная функция
Вывод
Вычислим относительную погрешность.
D
Формула выглядит, как
Определим коэффициенты , входящих в эмпирическую формулу.
Так как
известно, что они должны доставлять
минимум функции S, составим уравнение:
Воспользуемся
необходимым условием экстремума функции
нескольких переменных - равенством нулю
частных производных.
Исходя
из полученных результатов, можем составить
нормальную систему.
Теперь аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем расчет сумм.
Расчет будет выглядеть так:
| №\пер. | X | Y | COS(X)^2 | COS*SIN(X)^2 | SIN(X)^4 | Y*COS(X) | Y*SIN(X)^2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 0,291927 | 0,382573701 | 0,501368 | 1,080605 | 0,583853 |
| 3 | 2 | 5 | 0,173178 | -0,344079281 | 0,683634 | -2,08073 | 0,865891 |
| 4 | 3 | 9 | 0,980085 | -0,019715559 | 0,000397 | -8,90993 | 8,820766 |
| 5 | 4 | 8 | 0,42725 | -0,374374395 | 0,328043 | -5,22915 | 3,418 |
| 6 | 5 | 3 | 0,080464 | 0,260837525 | 0,845546 | 0,850987 | 0,241393 |
| 7 | 6 | 1 | 0,921927 | 0,074963395 | 0,006095 | 0,96017 | 0,921927 |
| 8 | 7 | 0 | 0,568369 | 0,325407879 | 0,186306 | 0 | 0 |
| 9 | 8 | 1 | 0,02117 | -0,14241976 | 0,958108 | -0,1455 | 0,02117 |
| 10 | 9 | 6 | 0,830158 | -0,154747863 | 0,028846 | -5,46678 | 4,98095 |
| №\пер. | X | Y | COS(X)^2 | COS*SIN(X)^2 | SIN(X)^4 | Y*COS(X) | Y*SIN(X)^2 |
| 11 | 10 | 13 | 0,704041 | -0,248330745 | 0,087592 | -10,9079 | 9,152533 |
| 12 | 11 | 10 | 1,96E-05 | 0,004425611 | 0,999961 | 0,044257 | 0,000196 |
| 13 | 12 | 8 | 0,71209 | 0,242954412 | 0,082892 | 6,750832 | 5,696716 |
| 14 | 13 | 5 | 0,82346 | 0,160200962 | 0,031166 | 4,537234 | 4,117298 |
| 15 | 14 | 2 | 0,018697 | 0,134180633 | 0,962955 | 0,273474 | 0,037394 |
| 16 | 16 | 0 | 0,917112 | -0,079378785 | 0,00687 | 0 | 0 |
| СУММА | 8,469947 | 0,222497729 | 5,70978 | -18,2425 | 38,85809 |
Посчитав
значение сумм, подставим их в нормальную
систему:
На данном этапе нахождение коэффициентов сводится к решению системы.Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D=48,31203, D= -112,806, D= 333,1848.
Коэффициенты: = -2,33495,
= 6,89652.
Найдя коэффициенты , подставим их в тригонометрическую формулу и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
| № | X | Yэксп | Yапрокс |
| 1 | 0 | 0 | -2,33495 |
| 2 | 1 | 2 | 3,621662 |
| 3 | 2 | 5 | 6,673876 |
| 4 | 3 | 9 | 2,448929 |
| 5 | 4 | 8 | 5,476209 |
| 6 | 5 | 3 | 5,679259 |
| 7 | 6 | 1 | -1,70352 |
| 8 | 7 | 0 | 1,216428 |
| 9 | 8 | 1 | 7,090255 |
| 10 | 9 | 6 | 3,298763 |
| 11 | 10 | 13 | 4,00028 |
| 12 | 11 | 10 | 6,886051 |
| 13 | 12 | 8 | 0,015221 |
| № | X | Yэксп | Yапрокс |
| 14 | 13 | 5 | -0,90133 |
| 15 | 14 | 2 | 6,4483 |
| 16 | 16 | 0 | 2,807731 |
Вычислим относительную погрешность.
D20,46%
Определим коэффициенты , входящих в эмпирическую формулу.
Так как
известно, что они должны доставлять
минимум функции S, составим уравнение:
Воспользуемся
необходимым условием экстремума функции
нескольких переменных - равенством нулю
частных производных.
Исходя
из полученных результатов, можем составить
нормальную систему.
Теперь аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем расчет сумм.
Расчет будет выглядеть так:
| №\пер. | X | Y | X^2 | X^4 | LN(X^2) | LN(X^2)^2 | X^2*LN(X^2) | Y*LN(X^2) | Y*X^2 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2 |
| 3 | 2 | 5 | 4 | 16 | 1,386294 | 1,921812 | 5,545177444 | 6,931472 | 20 |
| 4 | 3 | 9 | 9 | 81 | 2,197225 | 4,827796 | 19,7750212 | 19,77502 | 81 |
| 5 | 4 | 8 | 16 | 256 | 2,772589 | 7,687248 | 44,36141956 | 22,18071 | 128 |
| 6 | 5 | 3 | 25 | 625 | 3,218876 | 10,36116 | 80,47189562 | 9,656627 | 75 |
| №\пер. | X | Y | X^2 | X^4 | LN(X^2) | LN(X^2)^2 | X^2*LN(X^2) | Y*LN(X^2) | Y*X^2 |
| 7 | 6 | 1 | 36 | 1296 | 3,583519 | 12,84161 | 129,0066818 | 3,583519 | 36 |
| 8 | 7 | 0 | 49 | 2401 | 3,89182 | 15,14627 | 190,6991946 | 0 | 0 |
| 9 | 8 | 1 | 64 | 4096 | 4,158883 | 17,29631 | 266,1685173 | 4,158883 | 64 |
| 10 | 9 | 6 | 81 | 6561 | 4,394449 | 19,31118 | 355,9503815 | 26,36669 | 486 |
| 11 | 10 | 13 | 100 | 10000 | 4,60517 | 21,20759 | 460,5170186 | 59,86721 | 1300 |
| 12 | 11 | 10 | 121 | 14641 | 4,795791 | 22,99961 | 580,290656 | 47,95791 | 1210 |
| 13 | 12 | 8 | 144 | 20736 | 4,969813 | 24,69904 | 715,6531151 | 39,75851 | 1152 |
| 14 | 13 | 5 | 169 | 28561 | 5,129899 | 26,31586 | 866,9528828 | 25,64949 | 845 |
| 15 | 14 | 2 | 196 | 38416 | 5,278115 | 27,85849 | 1034,510473 | 10,55623 | 392 |
| 16 | 16 | 0 | 256 | 65536 | 5,545177 | 30,74899 | 1419,565426 | 0 | 0 |
| СУММА | 73 | 1271 | 193223 | 56,92762 | 244,223 | 6169,467861 | 276,4423 | 5791 |
Посчитав
значение сумм, подставим их в нормальную
систему:
На данном этапе нахождение коэффициентов сводится к решению системы. Систему решаем метод Крамера аналогично заданию (1).
Получим определители: D=18102351, D=29492326, D=24875300, D=-445710.
Коэффициенты: = 1,629199, = 1,374148, c=-0,02462.
Найдя коэффициенты , подставим их в логарифмическую формулу и вычислим значение аппроксимированных Y-ов от X. Результаты запишем в таблицу и создадим графики Yэксп(Х) и Yапрокс(Х).
| № | X | Yэксп | Yапрокс |
| 1 | 0 | 0 | 3,003346 |
| 2 | 1 | 2 | 1,604577 |
| 3 | 2 | 5 | 3,435685 |
| 4 | 3 | 9 | 4,426914 |
| 5 | 4 | 8 | 5,045198 |
| 6 | 5 | 3 | 5,436867 |
| 7 | 6 | 1 | 5,667103 |
| 8 | 7 | 0 | 5,770673 |
| № | X | Yэксп | Yапрокс |
| 9 | 8 | 1 | 5,768331 |
| 10 | 9 | 6 | 5,673466 |
| 11 | 10 | 13 | 5,495216 |
| 12 | 11 | 10 | 5,240102 |
| 13 | 12 | 8 | 4,912937 |
| 14 | 13 | 5 | 4,517376 |
| 15 | 14 | 2 | 4,056262 |
| 16 | 16 | 0 | 2,945946 |
Вычислим относительную погрешность.
D62,3%
Приведем эмпирическую
формулу в линейный вид. Для этого
прологарифмируем левую и правую
части формулы.
Определим коэффициенты входящих в полученную формулу.
Так как известно,
что они должны доставлять минимум
функции S, составим уравнение:
Воспользуемся
необходимым условием экстремума функции
нескольких переменных - равенством нулю
частных производных.
Примечание:
в уравнении частной
Исходя
из полученных результатов, можем составить
нормальную систему.
Теперь
аналогично заданию (1) с помощью Excel произведем
расчет сумм.
Расчет будет выглядеть так:
| №\пер. | X | Y | ln(X) | ln(Y) | ln(X)^2 | ln(X)*ln(Y) |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 0,693147 | 0 | 0 |
| 3 | 2 | 5 | 0,693147 | 1,609438 | 0,480453 | 1,115577 |
| 4 | 3 | 9 | 1,098612 | 2,197225 | 1,206949 | 2,413898 |
| 5 | 4 | 8 | 1,386294 | 2,079442 | 1,921812 | 2,882718 |
| 6 | 5 | 3 | 1,609438 | 1,098612 | 2,59029 | 1,768148 |
| 7 | 6 | 1 | 1,791759 | 0 | 3,210402 | 0 |
| 8 | 7 | 0 | 1,94591 | 1 | 3,786566 | 1,94591 |
| 9 | 8 | 1 | 2,079442 | 0 | 4,324077 | 0 |
| 10 | 9 | 6 | 2,197225 | 1,791759 | 4,827796 | 3,936898 |
| 11 | 10 | 13 | 2,302585 | 2,564949 | 5,301898 | 5,906014 |
| 12 | 11 | 10 | 2,397895 | 2,302585 | 5,749902 | 5,521358 |
| 13 | 12 | 8 | 2,484907 | 2,079442 | 6,174761 | 5,167218 |
| 14 | 13 | 5 | 2,564949 | 1,609438 | 6,578965 | 4,128127 |
| 15 | 14 | 2 | 2,639057 | 0,693147 | 6,964624 | 1,829255 |
| 16 | 16 | 0 | 2,772589 | 1 | 7,687248 | 2,772589 |
| СУММА | 28,96381 | 21,71918 | 61,80574 | 40,38771 |
Информация о работе Метод наименьших квадратов для аппроксимации экспериментальных данных