Понятие о непрерывности функции. Производная

 

Понятие о непрерывности  функции. Производная.

Лекция №1 (2 часа)

Понятие о  производной функции, ее геометрический и физический смысл.

 
 
 
 
Производная функции

Определение производной функции. Пусть функция у=f(x) определена на некотором  промежутке, ∆х — точка этого промежутка и число х таково, что х+∆х тоже принадлежит этому промежутку. Тогда производной функции у = f{x) называется предел  отношения приращения функции ∆у к приращению аргумента х при ∆х →0:        

если  этот предел существует.

Если производная  существует для каждого значения х в области определения функции f(x), то она представляет собой новую функцию от аргумента х.        Процесс вычисления производной называется дифференцированием,                     С физической точки зрения производная от f(x) в точке х представляет собой скорость изменения функции f{x) относительно ее аргумента при данном значении х.Производная функции имеет следующие обозначения: уꞌ, f '(x),  

 

                 Алгоритм  определения производной функции 

вычисляют приращение   ;

находят среднюю  скорость изменения функции   ;

вычисляют истинную скорость изменения функции при  стремлении  
 

или

                                               

Пример 

Определить  производную функции  при

РЕШЕНИЕ. Вычисляем:  = ,

следовательно,

Средняя скорость изменения функции  

Тогда истинная скорость изменения функции  
 

Находим значение производной при

                                            

 2. Связь производной функции с непрерывностью.

 
Сформулируем  зависимость между непрерывностью и наличием производной функции.                                                                                                                                           Если функция f(x) имеет производную при некотором значении аргумента х, то при этом значении х данная функция непрерывна. Допустим, что при некотором значении х функция f(x) имеет производную, т. е. 
 

По определению  предела   

                                                        

Где при отсюда . Находим предел этого выражения при : 
 

Так как                         ,  то

  

Функцию у = f{x) при данном значении х называют непрерывной, если бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции у, т. е. если       

3. Геометрический смысл  производной.

Касательной к данной кривой в данной ее точке А называется предельное положение секущей АВ, когда точка В, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А. Прямая, проходящая через точку А перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой в точке А.

Рассмотрим  непрерывную кривую у = f(x).

Отметим на этой кривой фиксированную точку А(х; y), а также перемещающуюся по кривой точку В(х + х; у+ у).  

Тогда расстояние от точки В до оси абсцисс B у + y = f(x + х).

Проведем прямую АВ, пересекающую кривую f(x) в точках А и В, и прямую A, параллельную оси Ох.                                                                       Обозначим в прямоугольном треугольнике угол тогда , т. е. с геометрической точки зрения tg равен тангенсу угла наклона секущей АВ к оси Ох.

При х О точка В, перемещаясь по кривой f(x), неограниченно приближается к точке А, секущая АВ, поворачиваясь около точки А, стремится занять предельное положение касательной в точке А к кривой f(x). При этом  , где а — угол, образуемый касательной AM с положительным направлением оси Ох, т. е.

Из равенства tg следует, что

или    

       
 
 
 

   но , поэтому =  tg а или = k, где k — угловой                              коэффициент касательной AM к графику функции у = f(x) в точке А, равный тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, т. е.               

Итак, производная функции у=f(x) в точке А равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции У = f(x) в этой точке А.

 

Физический  смысл производной.

При прямолинейном  движении точки скорость v в данный момент t = есть производная от пути S по времени t, вычисленная для момента .

Ускорение в данный момент t = есть производная от скорости v по времени t, вычисленная для момента

  ПРИМЕР: Точка движется прямолинейно по закону S = - 4. Найти величину скорости и ускорения в момент времени = 4 с.

РЕШЕНИЕ. Скорость движения точки в любой момент времени :

                                             
 
 

При вращательном движении угловой  скоростью называется скорость со изменения угла поворота за время t. Угловая скорость равна производной угла поворота по времени t 

                                                  

Угловое ускорение  равно производной от угловой скорости по времени t:  
 
 
 
 
 
 

                                   

Лекция №2 (2часа)

Производная  постоянной, производная суммы, произведения, частного. 

 Производная постоянной.

Пусть y = С, где С — постоянное число.

Тогда             
 

Производная постоянной 0:   С'=0.

Производная алгебраической суммы  функций.

Для вывода ограничимся суммой двух слагаемых y=u + v , где и и v — функции от аргумента x:, имеющие производные по х:

  
 
 

Слагаемые правой части являются производными функций и и v, поэтому

у' = u’ + v' или (u + v)' = u' + v’

Вывод можно  распространить на алгебраическую сумму конечного числа слагаемых

Производная алгебраической суммы конечного  числа функций равна сумме производных слагаемых.

Например, у = 1 + х, тогда у' = 1.

Производная произведения двух функций.

Пусть у = uv, где uuv—функции от аргумента x:, имеющие производные по х. Находим:  
 
 
 

Функции u и v не зависят от х, поэтому будем считать их постоянными; по   определению

Функция u дифференцируема следовательно, она непрерывна, поэтому , и последний член в () равен нулю.

Тогда имеем:  

• Производная произведения двух функций  равна сумме произведений первой функции на производную второй и второй на производную первой.

 

Производная произведения постоянной на функцию.

Пусть у = Си, где С — постоянная, а и — f(x), имеющая производную по х:

 

• Производная произведения постоянной на функцию равна  произведению постоянной на производную функции (постоянную можно выносить за знак производной).

Производная частного.

Дана функция y = где u и v — функции  аргумента x, имеющие производные по х (v0). Тогда : 
 
 
 

Итак,  
 

• Производная частного равна дроби, числитель которой  есть разность между  произведением делителя на производную делимого и произведением делимого на производную делителя, а знаменатель есть квадрат делителя.

Следствия:

Если  знаменатель дроби есть постоянная С, y = , то

 
 
 

• Если  знаменатель дроби  — постоянная величина, то производная дроби равна производной от числителя, деленной на знаменатель.

Q

П. Если числитель дроби есть постоянное число С, у = , то  
 
 
 

• Если  числитель дроби  — постоянная величина С, то производная равна числителю С, умноженному на производную знаменателя и деленному на квадрат знаменателя, взятому с противоположным знаком.

 
 

              

        

            Лекция №3 (2часа)

Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

• Производные основных элементарных функций:

Производная функции у - . При вычислении производной функции у = , где и = f(x), заменим корень дробным показателем и применим формулу

 
 
 
 

 

Производная функции.  При выводе формулы производной функции , где u=f(x) заменим   на   тогда ^‘ = ‘ = -1 , т.е.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

• Применение  производной к  исследованию функций  и построению графиков.

Исследование  функций с помощью  производных.

Возрастание и убывание функций. 

Возрастание и убывание функции у=f(x) характеризуется знаком ее производной: если на некотором промежутке f'{x)> О, то функция на этом промежутке возрастает; если же f'(x)< О, то функция на этом промежутке убывает.

На  промежутке возрастания функции  у=f(x) касательная к графику функции образует с осью абсцисс острый угол, и график функции направлен вверх, т. е. f  ‘ () = tg   > О < а < /2 ,