Понятие о непрерывности функции. Производная

а в  промежутке убывания функции касательная  к графику образует тупой угол, и график функции направлен вниз, т. е. f'() = = tg < О, /2 < < .

ПРИМЕР:

Найти промежутки возрастания и убывания функции:

• f(x)=
• F(x)=
• ( x )=
• ( x )= ln x     

РЕШЕНИЕ. 1) Производная f’ (x) — 2х - 8; она принимает значение, равное нулю ( f “ (x) = 0) при x = 4. Вычислив значения f’ (x) для любого значения х > 4, заключаем, что на этом интервале производная f’ (х) > О, следовательно, функция f(x) на этом интервале возрастает, и наоборот, f’(1)=-6, при x<4 производная f(x) < О, следовательно, на этом интервале функция f(x) убывает.

F(x) = 3 – 12x; корни производной Вычислив значения производной на отдельных интервалах, делаем относительно поведения функции заключение.

Область определения  функции .  Производная при всех значениях x из области определения функции, следовательно, функция убывает на интервалах x (); 

Область определения функции (x) — интервал х (0; ).

Производная Ψ’(x) = на этом интервале всегда положительна.

Следовательно, функция ψ(x) является возрастающей на всей области определения. 

Исследование  функции на максимум и минимум. 

Понятие о максимуме  и минимуме функции. Сформулируем правило  определения тех значений аргумента, которые отделяют участки возрастания  функции от участков убывания и наоборот. 

Рассмотрим графики функций f (x). Если слева от некоторого допустимого значения x  = функция   у = f(x) возрастает, а справа убывает, то значение x = называется точкой максимума данной функции, т. е. функция у = f (x) при x = имеет максимум. Если слева от точки х = функция  у = (x) убывает, а справа — возрастает, то значение х = называется точкой минимума данной функции, т. е. функция у = = (x) при x = имеет минимум.

 
 
 
 
 
 
 

Точка максимума служит границей перехода функции от возрастания к убыванию, а точка минимума — границей перехода функции от убывания к возрастанию. Необходимо отметить, что функция может иметь либо только

один  максимум (например, функция у= -) или только один минимум (например, функция у = ), либо множество максимумов и минимумов (например, у = sinx), либо не иметь ни максимума, ни минимума (например, у=tgх).

• Точка называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(.
• Точка называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f()
• Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума.

 
 
 
 

Практические  правила исследования функции на максимум и минимум с помощью первой производной. Необходимо придерживаться следующего алгоритма:

1. Найти производную f{x) функции f(x).
2. Найти критические точки функции у = /(л:), т. е. точки, в которых f'(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
3. Исследовать знак производной f(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). При этом критическая точка х = есть точка минимума, если производная меняет знак при переходе через x = . Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой х = , знак производной не меняется, то в точке х = функция не имеет ни максимума, ни минимума.
4. Вычислить значения функции в точках максимума и минимума.

  ПРИМЕР:

Исследовать на экстремум функцию: 1) f(x) =-4х;

2) ((x) = = - + 5x- 6; 3) ψ (x) =

РЕШЕНИЕ. 1) Находим f'(x) = 2x - 4. Полагая f’(x) = О, получим единственную критическую точку х = 2. В этой точке f (2) = - 4. Слева от точки х=2 производная f’(х) имеет отрицательные значения, справа — положительные.

2) находим '(x)=-2х+5, Приравнивая производную к нулю, получаем критическую точку х = 2,5. В этой точке (2,5) = 0,25. Слева от критической точки

x = 2,5 производная функции (x) имеет положительные значения, справа — отрицательные.  
 
 
 

3) находим  = Уравнение производной имеет два корня: = О, = 2. В этих точках ψ(0) = О, а ψ (2) = -4. Производная имеет положительные значения слева от точки x = О и справа от точки x = 2 и отрицательные значения между этими точками. График, приведенный на рисунке, характеризует функцию ψ(x). 
 

                                          

                                       
 

                                     
 
 
 

Наименьшее  и наибольшее значения функции.

Сформулируем  алгоритм определения наибольшего  и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке. 

1. Найти критические  точки, принадлежащие заданному  промежутку,  и вычислить значения функции в этих точках.
2. Найти значения функции на концах промежутка.
3. Сравнить полученные значения: минимальное и максимальное из них являются соответственно минимумом и максимумом функции в рассматриваемом промежутке.

ПРИМЕР: Найти наименьшее и наибольшее значения функции

f(x) = = - 4х + 3 на отрезке х [0; 3].

РЕШЕНИЕ. Имеем: f(x) = 2х - 4; х = 2 — критическая точка.

Находим f(2) = -1. Вычисляем значения функции на концах промежутка:

f(0) = 3, f(3) = 0. Наименьшее значение функции

f(2) = -1 и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение f(0) = 3 и достигается на левом конце промежутка. 
 
 

                                   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                        Лекция №4 (2 часа)

 

Вторая  производная, ее физический смысл. 

Производная второго  порядка. Если существует производная от производной у' функции у’ = f (x), то она называется второй производной или производной второго порядка, т. е.     

ПРИМЕР: Найти вторую производную функции у = х^,

РЕШЕНИЕ.

Находим первую производную: у' = ()= . Полагая первую производную функцией, вычисляем вторую производную: (y’)’ = (3)' = 6x, y”= 6x 

Физический  смысл второй производной. Пусть  точка движется прямолинейно по закону S =f (t); здесь S — путь, пройденный точкой за время t. Скорость движения точки, есть производная пути по времени v = S' = f’ (t). 

Если точка  движется неравномерно, то скорость за промежуток времени t получит приращение v. Отношение показывает изменение скорости в единицу времени; оно называется средним ускорением за промежуток времени от t  до t + t. 

 Если приращение   а среднее ускорение будет стремиться к ускорению а в данный момент времени t, т. е.  
 

Следовательно, ускорение а прямолинейного движения точки в данный момент времени равно второй производной пути по времени.

ПРИМЕР: Точка движется прямолинейно по закону S = 3 - 2t + 4. Вычислить скорость и ускорение точки в момент времени = 6 с.

РЕШЕНИЕ. Имеем:                                              

Ускорение является постоянной величиной при  любом значении времени  t, т. е. движение точки происходит с постоянным ускорением.