Принятие решений в управлении

     Построим  матрицу попарных сравнений трех целей: Э, С и Б в соответствии с их воздействием на общую цель – Бл. Умышленно навязывая согласованность создаваемой матрице, мы по первой строке находим все остальные ее элементы. Имеем:

      Бл      Э    С    Б

     Э 1    5     3

     С 1/5   1   3/5                          ИС =  0,0  

     Б 1/3  5/3   1

     Необходимые пояснения к таблице. Экономика имеет сильное превосходство перед окружающей средой (5) и слабое перед национальной безопасностью (3). Числа во 2-й и в 3-й строках выбраны так, чтобы полученная матрица сравнений была обратно-симметричной и согласованной.

     Столбец приоритетов, вычисленный любым  из описанных выше четырех способов, имеет вид 

Следовательно, в соответствии со сравнением по социально-политическому  влиянию экономика получает приоритет 0,65, окружающая среда – 0,13 и национальная безопасность – 0,22 (рис. 5).

            0,65                     0,13                                   0,22   

        0,65 0,23   0,12    0,59    0,33   0,08   0,54    0,30   0,16

 

       

Рис.5

     Проведем  теперь оценку относительной важности каждого потребителя с точки зрения экономики, окружающей среды и национальной безопасности (составляющих второй уровень иерархии).

      Соответствующие матрицы попарных сравнений, индексы согласованности и столбцы приоритетов имеют следующий вид:

      Э     БП    ТР     ПР

     БП   1        3        5

     ТР   1/3      1        2            ИС =  0,0 ,     ;

     ПР   1/5    1/2      1 
 
 
 
 
 

       С     БП    ТР     ПР

      БП    1       2        7

      ТР    1/2     1        5                            ИС =  0,01 ,     ;

      ПР    1/7   1/5  1 
 
 

       Б     БП    ТР     ПР

      БП    1       2        3

      ТР    1/2     1        2                           ИС =  0,01 ,     ;

      ПР    1/3   1/2  1 
 

     Запишем полученные столбцы в виде матрицы. Имеем 

     Умножая эту матрицу на столбец w, находим искомый столбец приоритетов третьего уровня иерархии, представляющего потребителей энергии БП, ТР и ПР (взвешенный согласно их общему влиянию): 
 

       Итак, в соответствии с нашими  вычислениями на бытовое потребление следует выделить 62% энергии, на транспорт – 26% и на промышленность – 12%. 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Собственные  столбцы и собственные  значения матрицы.

Начнем с примера.

     Пример. Умножим матрицу 

на столбец 

и на столбец 

Соответственно  получим

     ==

        Сравнивая результирующие столбцы  с исходными, замечаем, что во 2-ом случае (в отличие от 1-го) полученный столбец пропорционален заданному (коэффициент пропорциональности равен 3).

     Пусть А – квадратная матрица порядка n. При умножении ее на столбец x высоты n получаем столбец y той же высоты:

     Ax = y.

     Поставим  следующий вопрос: для всякой ли квадратной матрицы можно указать столбец, после умножения ее на которой мы получим столбец, пропорциональный исходному, т.е. для всякой ли квадратной матрицы А существует столбец x и число такие, что

                 Ax =x. (8)

     Тривиальный случай x = O отбросим сразу (в этом случае равенство (8) выполняется для любого ).

     Если  такие столбец  и число существуют, то они называются собственным столбцом и собственным значением матрицы А.

     Покажем, как практически можно ответить на поставленный выше вопрос, для простоты ограничившись подробным рассмотрением случая n = 2.

     Запишем соотношение (8) для матрицы 
 

и столбца 

Имеем 

Перемножая, получим

,

откуда 

и, далее, 

     Эта система двух уравнений с двумя  неизвестными имеет нулевое решение при любом . Но этот тривиальный случай нас не интересует. А вот нельзя ли выбрать параметр (который пока тоже неизвестен) так, чтобы эта система имела и другие решения?

Замечание. Уравнение вида 

описывает прямую, проходящую через точку О (0,0). Для того чтобы уравнение 

описывало ту же прямую, должно выполняться условие 

или 

(в ином случае  прямые будут пересекаться (рис. 6)). 
 

                                                                                  

     

     

                    О                     О

                                                                                                     
 

Рис.6

     Последнее соотношение в применении к рассматриваемому случаю будет выглядеть так: 

Вытекающее из него квадратное уравнение 

имеет не более  двух корней.

     Пример. Рассмотрим три конкретные матрицы:

     1) ,      2)     3)

и попытаемся найти  их собственные значения.

     1) Переходя от матричного равенства 

К системе уравнений, получим 

Отсюда 

и, далее, 

Это уравнение  имеет два корня: 

Которые и являются собственными значениями матрицы 

     2) Для матрицы 

соответствующая система имеет вид 

откуда 

и единственное собственное значение матрицы 

     3) Система уравнений 

приводит к  равенству 

которое легко преобразуется к квадратному уравнению, не имеющему корней.

     Тем самым квадратная матрица второго  порядка может иметь не более  двух собственных значений.

Замечание. У квадратной матрицы n-го порядка не больше n собственных значений.

     Итак, мы описали способ отыскивания собственных значений матрицы. А как найти соответствующий собственный столбец в случае, если собственное значение уже найдено?

     Пример. Ясно, что рассматривать нужно только первые два случая.

     1) Подставив первое из найденных  собственных значений в систему уравнений 

получим: 

Из первого  уравнения (второе уравнение никакой  новой информации не содержит) видно, что 

Положим Тогда и искомый собственный столбец имеет вид 

Замечание. В качестве можно взять любое отличное от нуля число. Найдя пот нему значение, получим собственный столбец матрицы, пропорциональный предъявленному (отличающийся от предъявленного множителем).

     Второе  собственное значение приводит к системе уравнений 

откуда 

и 

-собственный  столбец матрицы, отвечающий собственному значению.

     2) После постановки  в систему уравнений 

получим 

Это означает, что а может быть любым не равным нулю числом. Тем самым, собственный столбец матрицы имеет вид 

Замечание. Описанный  выше способ отыскивания собственных значений матрицы и отвечающих им собственных столбцов состоит из двух основных этапов: сначала ищется собственное значение, а затем по нему строится собственный столбец. Однако в некоторых задачах возникает необходимость проверить, является ли заданный столбец 

собственным столбцом матрицы 

и если это так, то найти соответствующее собственное  значение.

     Конечно, это более простая задача, и  она решается следующим образом.

     Умножая матрицу А на столбец x:

     Ax = y

И поделим элементы полученного столбца y на соответствующие элементы столбца x 

     Если  все эти отношения равны между  собой, 

то  – искомое собственное значение. Если же хотя бы одно отношение 

Отлично от других, то x собственным столбцом матрицы А не является. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Неотрицательные  и положительные  матрицы.

Матрица 

называется  неотрицательной, если 
 

и положительной, если 
 

     Пример. Матрица занятости в примере о составлении расписания неотрицательна, а матрица реализации порций мороженого положительна.

     Обозначения:.

     Пусть А и В - матрицы одинаковых размеров.

     Будем писать 

А В,

если 
 

и

А В,

если 
 

ТЕОРЕМА. Пусть А – неотрицательная квадратная матрица. Тогда у нее обязательно есть собственные значения, наибольшее из которых 

неотрицательно, и соответствующий ему собственный столбец также неотрицателен.

     В случае когда А – положительная квадратная матрица, ее наибольшее собственное значение положительно и положителен соответствующий ему собственный столбец.

                                     Практическая часть.

     1. Управление организационными  системами.