Шпаргалка по "Высшей математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Января 2011 в 16:12, шпаргалка

Краткое описание

Работа содержит ответы на вопросы по дисциплине "Высшая математика".

Содержимое работы - 1 файл

математика, билеты.doc

— 211.00 Кб (Скачать файл)

12.Способ вычисления ранга матрицы при помощи элементарных алгебраических преобразований.

1.Перестановка  строк или столбцов местами.

2.Умножение эл-тов  строки/столбца матрицы на постоянное  число,≠0.

3.Вычеркивание  из матрицы 1 или 2 одинаковых  строк/столбцов,а также вычеркивание строк/столбцов,сост. из 0.

4.Суммирование  эл-тов строки/столбца матрицы  с соот. эл-тами другой строки/ столбца, умноженное на одно  и тоже число.Эквивалентные матрицы-матрицы,к которым применены элементарные преобразования. 

13.СЛАУ-СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.Сис-ма, имеющая решение наз-ся совместной,а не имеющая решение-несовместной.Эквивалентные СЛАУ-те,к которым применены элементарные преобразования. 

14.Теорема Кронекера-Копели(совместность СЛАУ):СЛАУ имеет решение тогда, и только тогда,когда ранг матрицы А равен рангу матрице А͡͡.

Док-во: Обязательно rA≤   rA͡

a11  a12...a1n   b1

a21  a22...a2n   b2

......................................

ak1  a2k..akn      bn

        A                r(A)=S

1)если есть  решение, то ранг совпадает.

Пусть x1=R1;x2=R2...xn=Rn-решение систем

а11R1+a12R2+...+a1nKn=b1

a21R1+a22R2+...+a2nkn=b2

.........................................

ak1R1+ak2+.....+aknRn=bk

a11                  a12                       a1n                   b1

a21  *R1+ a22   *R2+.....+ a2n    *Rn= b2

....            ...                  ....             ...

ak1                  ak2                      akn                  bn

Базисные  переменные-переменные,которые входят в базисные минор(зависит от нашего выбора),остальные переменные-свободные.Общее решение-решение,через неизвестные(без подстановки конкретных чисел) 

15.Метод  Гаусса решения СЛАУ состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы с помощью сложения или вычитания уравнений,умноженных на некоторые числа.

Прямой ход:        х+2у+3z=8                 x+2y+3z=8           x+2y+3z=8

      4х+5у+6z=28      →  3y+6z=4    →        3y+6z=4

      7x+8y+10z=47          6y+11z=9             z=1

Обратный ход:  z=1

                       3y=-2 y=-2/3

            x+2y=5  x=19/3 
 

16.Метод  Жордана-Гаусса:1)Прямой ход:с помощью элементарных преобразований расширенная матрица приводится к верхнетреугольному виду

2)Обратный ход:с  помощью элементарных преобразований  полученная верхнетреугольная матрица  приводится к одному из след видов:

а)а11......0      b1      диагональная матрица→система имеет 1 решение

    .....а22....    b2

   ................  ...

   0...........аnn  bn

б) а11 0..........0   в1

     0  а22........0    весли хотя бы 1 из коэффициентов вs+1 и т.д.       

     0 0  ....аss..0                    ≠0→система не имеет решение,а если все                             

     0 0.............0   вs+1              =0,то система имеет бесконечно много

      00.............0   вs+2                       решений 

в)  а11  0......0....а1s+1....a1n   в1

       0    а22....0....а2s+1.....a2n    в2         если хотя бы 1 из коэффициентов вs+1

     0    0.....ass...as1s+1.....an        вs          или вn ≠0, то система не имеет решение

     0 0..........................0      вs+1      если   вs+1 или вn =0,то бесконечно

     0   0.........................0       вn            много решений 
 

17.Прямоугольная(декартова)система координат.Выбирается начало координат на плоскости или в пространстве и задается единица масштаба.Положение любойточки на плос-ти опр-ся 2 числами-х-абсциссой и у-ординатой, а в пространстве еще и z-апликатой.

Деление отрезков в заданном отношении:пусть дан отрезок АВ,А(х11) В(х22), точка С делит его на 2 части

АС/СВ=λ→абсцисса(х) С=х1+λх2/1+λ   ордината(у) С=у1+λу2/1+λ. Если АС=СВ, ТО Х точки С = х12/2, а У=у12/2

Уравнение линии(L),заданной на плоскости ХОУ наз-ся уравнение вида F(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки линии L и не удовлетворяют координаты любой точки,не принадлежащей L.Иначе: L-геом.место точек, координаты которых удовлетворяют ур-ию линии L.Различают 2 типа точек линии:1)текущие-когда любая точка L имеет координатную пару х;у,удовлетворяющих ур-ию линии.2)фиксированные-точки линии,координаты которой заданы конкретными числами. 

18.Точка  пересечений 2-х  линий.Т.к. точки пересечения лежат одновременно на 2-х линиях,то их координаты должны удовлетворять одновременно и 1-му и 2-му уравнениям лини,следовательно,для определения координат точки пересечения этих линий достаточно решить систему уравнений:  Ф(х;у)=0

Классификация линий:          F(х;у)=0

1.Алгебраические-линии,заданные алгебраическим уравнением,т.е. в котором над х и у проводятся алгебраические действия(+,-,*,/,√...)2.Трансцендентные-если линия задана уравнением,в котором х,у нах-ся под знаком трансцендентной функции(sin.,cos,tg,lg,arcsin,ctg,ax)Прямая линия(1-го порядка)-алгебраическое уравнение 1-го порядка, где а,в,с-произвольные числа,описывающие прямую. Ах+Ву+С=0  Уравнение прямой с угловым коэффициентом: у=кх+в,где к=tgα-угловой коэффициент прямой, α-угол, образованный прямой с положительным направлением ОХ, в-точка пересечения прямой с осью ОУ. Если:а)к›0→ угол острый; б)к‹0→ угол тупой в)к=0→у=в(также может совпадать с осью ОХ и ОУ) 

19.Уравнение  пучка прямых, проходящих через М1: y-y1=K(x-x1)  M(x1;y1)Если К в последнем уравнении не определен, то действительно это ур-ие опряделяет пучок прямых,проход. через М1.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки М111) М222)  у-у121=х-х121 

20.Уравнение  прямой в отрезках  на осях.Для вывода уравнения воспользуемся уравнением прямой,проход. через 2 точки:А(а;0) В(0;в)→у-0/в-0=х-а/0-а  →х/а +у/в =1 это уравнение часто используют при построении прямой.например:        -2х+3у-6=0 Приведем к виду отрезков на осях: -х/3 +у/2 =1

Общее уравнение прямой: Ах+Ву+С=0, где А,В,С-заданные числа.Покажем, что это уравнение определяет прямую на плоскости: у=(-А/В)х -(С/В)→у=кх+в

       

        К            в

Частные случаи:

1)А=0: Ву+С=0  у=-С/В=const.

2)В=0: х=-С/А=const.

3)С=0 :у=-(А/В)х=Кх

4)А=0,С=0 :Ву=0 →у=0

5)В=0,С=0: Ах=0→х=0 

21.Угол  между 2-мя прямыми.  Пусть даны 2 уравнения: у=к1х+в1(1)    у=к2х+в2(2),α1-угол,образованный первой прямой и ОХ.  α2-угол,образованный второй прямой и ОХ→α(угол между прямыми)=α21.

Найдем tgα=tg(α21)=tgα2-tgα1/1+tgα1tgα2 Но tgα1=k1,а tgα2=k2→tg=|k2-k1/1+k1k2| 

22.Условие  параллельности 2-х  прямых на плоскости:если прямые параллельны,то α=0→  к12 или А1122

Условие перпендикулярности 2-х прямых: если прямые перепндикулярны,то α=90®→к2=-1/к1 или А1А21В2=0

Расстояние  от точки до прямой: М(х;у) Ах+Ву+С=0   d=|Ах1+Ву1+С/√А22| 

44.Общие  уравнения прямой  в пространстве.

Здесь прямая линия  в пространстве задается линией пересечения 2 плоскостей,т.е.

Из последней  системы можно получить каноническое уравнение прямой в виде:

Х-Хо     =У-Уо   =  Z-Zо   

В1 С1     С1 А1   А1 В1

В2 С2     С2 А2   А2 В2

т.е.из заданой  системы,составленной из уравнения  плоскостей легко найти координаты направляющего вектора прямой:

m= В1 С1

      В2 С2    

n= С1 А1  

     С2  А2    

p= А1 В1

    А2  В2

Для нахождения Хо,Уо,Zо, как правило Zо=0  в уравнении плоскости из за полученной системы находят Хо и Уо.

Тем самым определяем М(Хо,Уо,Zо)

45.Условие параллельности прямых в пространстве.

Пусть заданы 2 прямые каноническими уравнениями

 Т=(m, n, p)

 Т1=(m1, n1, p1)

Если эти прямые параллельны,то и  параллельны и их направляющие векторы,т.е.Т  Т1à

i      j      k

m    n     p      =0 ---->    -условик параллельности двух прямых в прост-ве.

m1   n1   p1 
 
 
 
 
 
 

46.Условие  перпендикулярности 2 прямых в пространстве.

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

 Т=(m, n, p)

 Т1=(m1, n1, p1)

Если прямые перпендикулярны,то и перпендикулярны и их направляющие векторы,т.е.

Т(перпе.)  Т1--àТ*Т1=0-à mm1 + nn1 + pp1 = 0-условие перпендикулярности 2 прямых в про-ве.

47.  Угол между 2 прямыми в пространстве.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно  принять угол между их направляющими  векторами  и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

48.Уравнение  прямой в пространстве,проходящих  через 2 заданные  точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2).Запишем каноническое уравнение прямой,проходящие через т.А

x-x1 = у-у1 = z-z1

 m        n          p         т.к.по уравнению это прямая проходит и через т.В,то в качестве направляющего вектора этой прямой можно выделить вектор АВ.

Т=(m, n, p), Т=АВ, АВ=(х2-х1,у2-у1,z2-z1), отсюда получаем уравнение рямой проходящей через 2 точки:

 
 
 
 
 
 

49.Острый  угол между пространственной прямой и плоскостью.

Пусть прямая задана каноническим уравнением:   с Т=(m, n, p), а плоскость общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 с N=(А,В,С)

Тогда угол между  данной прямой и данной плоскостью:

Информация о работе Шпаргалка по "Высшей математике"