Шпаргалка по "Высшей математике"

1. явный  способ задания- здесь функция  задается в виде y=f(x) некоторой формулой, позволяющей по заданному значению аргумента путем алгебраических и др.операции найти соответ.значение функции у. например: у=х2+2х-1

2.неявное  задание функции-здесь функция  задается в виде равенства F(xy)=0 неразрешенного относительно ни одной из переменной. Например: х2+у2-4=0 от явного задания функции к неявной можно перейти всегда. От неявного задания функции к явному удается невсегда: y=f(x) →y-f(x)=0. для этого необходимо из ур-я неявного задания выразить одну из переменных.

3. параметрическое  задание функции-здесь и аргумент  х и сама функция у задаются  посредством некоторого параметра  t в виде :

x=f(t)

y= f(t)

от явного задания функции к параметрическому можно перейти всегда. От параметрического к неявному или к явному удается перейти не всегда

для этого  перехода необходимо из ур-й параметрического задания исключить параметр t.

Графический способ. В основном это графики, полученные экспериментальным путем. Достоинства: наглядность и простота использования. Недостатки: малая точность, график изображается на ограниченном промежутке

Табличный способ. Здесь функция задается в  виде таблицы. Достоинства: простота использования. Недостатки: ограниченная точность, трудность  определения значении функции в промежуточных точках. 

73)ТИПЫ  ФУНКЦИИ: ПОСТОЯННАЯ  И КУСОЧНО-ПОСТОЯННАЯ, МОНОТОННАЯ И ОБРАТНАЯ  ФУНКЦИИ

Постоянная  и кусочно-постоянная функции. Функ.называется постоянной если для любого х∈Х она ставится в соответствии одно и то же число С: y=f(x)=С , C-const.

Если  область определения функции  разбита на подмножества, в каждом из которых функция постоянна, то такая функция называется кусочно-постоянная и носит название Хевисай.

Монотонная функция- функция y=f(x) определенная на множестве Х называется монотонно-возрастающей, если из неравенства х1<x2, x1x2∈X следует некоторое неравенство f(x1)<=f(x2) .  если же неравенство х1<x2 следует строгое неравенство f(x1)<f*x2), то фуекцию называют строго возрастающей.

Функция y=f(x) определенная на множестве Х называется монотонно-убывающей, если из неравенства х1<x2, где x1x2∈X, f(x1)>=f(x2)

Если из неравенства  х1<x2 следует строгое неравенство f(x1)>f(x2), то функция называется строго-убывающей.

В случае строго монотонных функции разным значение аргумента соответств. разные значения функции что позволяет ввести понятие обратной функции f-1 (-1 это степень) . правило нахождения f-1 состоит в том, что через точку у ∈У проводится прямая параллельная оси ОХ до пересечения с графиком функции в точке М. на ось ОХ опускается перпендикуляр х=f-1(y)=g(y). Здесь роль аргумента функции играет переменная у, а роль самой функции переменная х. таким образом областью определения f-1(y) является множество У, расположенное на оси ОУ.  

74) ТИПЫ ФУНКЦИИ: ЧЕТНАЯ, НЕЧЕТНАЯ, СЛОЖНАЯ ФУНКЦИИ.

Функция y=f(x) называется четной, если для нее справедливо соотношение f(-x)=f(x). График четной функции всегда симметричен относительно оси ОУ. Пример

y=x2,

f(x)=x2

f(-x)=(-x)2=x2

Функция y=f(x) называется нечетной , если для нее справедливо соотношение f(-x)=-f(x). графики таких функции всегда симметричны относительно точки(начала координат). Пример:

y=x3

f(x)=-x3

f(-x)=(-x)3=-x3.

Если  не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

Сложная функция. Пусть переменная у является функцией переменной u, т.е. y=f(u), а переменная u является функцией независимой переменной Х. u= φ(x). В этом случаем y=f[φ(x)] называют сложной функцией переменной Х. при этом переменную u называют промежуточным аргументом функ. ОУ, а х называют окончательным аргументом. 

75)ЭЛЕМЕНТРАНЫЕ  ФУНКЦИИ:АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ  И ТРАНСЦЕДЕНТНЫЕ  ФУНКЦИИ. ОБЛАСТИ  ОПРЕДЕЛЕНИЯ И  ГРАФИКИ ОСНОВНЫХ  ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ.

Функция y=f(x) называется элементарной, если по известному значению ее аргумента и частное значение у может быть получено с помощью конечного числа арифметических операции и 4х функции:

Алгебраические  функции:

А) рациональные –целые рациональные многочлены. Многочленом  n-ой степени называется Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…axn

Б)дробно-рациональные –функции, представленные в виде отнощения 2х рациональных многочленов, т.е  f(x)= Pn(x)/Qm(x)

Областью  определения таких функции является вся числовая ось, за исключением  точки где Qm(х)=0

Замечание: совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функции составляют класс рациональных функции.

В) иррациональные функции. Если над аргументом х кроме  операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень  производится операция извлечения корня, то такие функции наз.иррациональными.

Если  функция не является алгебраической, то она называется трансцендентной.  
 
 
 
 

76) ПОНЯТИЕ ДЕЛЬТА-ОКРЕСТНОСТИ  ТОЧКИ. ПРЕДЕЛ  ПЕРЕМЕННОЙ. ПРЕДЕЛ  ФУНКЦИИ.

Пусть х0 некоторая точка числовой ост, тогда любой промежуток всегда (х0- δ, х0+ δ),  δ>0, называют δ-окрестности точки х0.

Сама  точка может и не принадлежать этому промежутку.  Если х ∈δ-окрет., (.) х0, т.е. х ∈(х0- δ, х0+ δ), то всегда справедливо неравенство |x-x0|< δ

Число х0 называют пределом переменной х, если разность |x-x0| становится меньше любого сколько угодно малого положительного числа дельта, т.е если |x-x0|< δ ∀δ>0, х →х0

Число А называется пределом функции y=f(x) при х стремящимся к х0, принадлежащим (а, в), если для любого сколько угодно малого положительного числа Ε существует такое дельта > 0, что как только |x-x0|> δ, то сразу |f(x)-A|>E. Из этого определения следует, что если f(x) в точке х0 имеет предел равный А, то каким бы малым не было Е, разность |f(x)-A| всегда будет меньше этого Е, если подобрать конечно достаточно узкую модель. Математически обозначают так:

- f(x) →A , при х→х0

- f(x) →A х→х0

- lim f(x)=A

   х→х0

иногда  приходится рассматривать пределы  функции слева и справа от точки  х0:

левое - lim f(x)   х→х0 – 0, правое - lim f(x)   х→х0 + 0

выше  рассматривался случай, когда А- конечное число. Но в окрестности в точке х0 может быть и иная ситуация. Например: y=1/ x2 в окрестности точ.х=0 . по мере приближения к нулю значения функции значительно возрастают и становятся больше сколь угодно большого наперед заданного N. В этом случае говорят, что функция y=f(x) стремится в бесконечности при х→0

f(x) →+∞ или lim f(x)= +∞

                         х→0 

77) ТЕОРМЫ О ПРЕДЕЛАХ 

Теорема 1. предел постоянной величины равен  самой постоянной, то есть С=const, limC=C                         х→0

Теорема 2. о стабилизациях знаков. Если f (x) имеет конечный предел при х →х0 и этот предел больше некоторой постоянной  С, то обязательно существует окрестность (.) х0 для всех точек которой f(x)>C.

Замечание: в частности , если С=0 , то эта теорема утверждает что знак функции в достаточно малой окрестности всегда совпадает со знаком предела.

Следствие: функция, принимающая неотрицательные  значения в некотором промежутке не может иметь отрицательного предела  ни в одной (.) этого промежутка.

Теорема 3. об единственности предела. Если f (x) при х→0 имеет предел, то этот предел единственный.

Теорема 4. признак существования предела. Если f (x) возрастающая, но ограниченная сверху, то она имеет предел, т.е. если функция ограничена сверху, функция всегда будет иметь меньше М. | f(x)| <M   limf(x)=A<M х→0

Теорема 5. если f (x) имеет предел при х→0 , то в некоторой окрестности в (.) х0 она ограничена, т.е если limf(x)=A , то  | f(x)| <M, при х ∈δ-окрет., (.) х0

Теорема 6. об арифметических действиях над пределами. Пусть функция f (x), g(x) х→0 имеют конечные пределы (соответств. А и В). тогда предел от арифметических операции этих функции (суммы, разности, произвед., частного) существует и равен соответ.арифметическим операциям от пределов этих функции, т.е если предел limf(x)=A, х→0 lim g(x)= B х→0, то :

1.  lim[ f(x) +- g(x)] = lim f(x) +- lim g(x)

х→0                            х→0           х→0

2. .  lim[ f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)

х→0                            х→0           х→0

3.[ f(x)/ g(x) ] = limf(x)/ lim g(x)

х→0                 х→0           х→0

следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. lim [c f (x) ]= c* lim f(x)

                                                                                                                             х→0                   х→0

замечание!!! Для элементарной функции справедливо  и более сильное утверждение. Предел f равен f от предела, т. е. знаки предела и f переставимы.

 

78) ПОНЯТИЯ БЕСКОНЕЧНОМАЛОЙ(Б.М)  И БЕСКОНЕЧНОБОЛЬШОЙ (Б.Б)ВЕЛИЧИН. СВОЙСТВА Б.М ВЕЛИЧИН СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ Б.М  Б.Б  ВЕЛИЧИНАМИ. СООТНОЩЕНИЯ МЕЖДУ ФУНКЦИЕЙ И ЕЕ ПРЕДЕЛОМ.

Функция y=f(x) называется бесконечномалой в окрестностях (.) х0, если ее предел при х→0 равен нулю, т. е. если lim f(x)=0, то f(x)-бесконечномалая величина. Обычно обозначают греческими α,  β , γ

Свойства: сумма, разность, произведения б.м величин-есть величины также бесконечномалой, т.е  если α  β-б.м, то α + β, α – β, α *  β-б.м

Это следует  из теоремы об арифметических действиях  над пределами.

Функция y=f(x) называется бесконечнобольшой величиной в окрестностях некоторой (.) х0, если lim f(x)=+- ∞, тогда f(x)-б.б

Соотношения между б.м и б.б величинами.

Если  f(x)-б.б, α= 1/ f(x) – б.м

Если  f(x)-б.м, то ее обратная величина -1/ f(x) – б.б

Соотношения между функцией и пределами

Если  f(x)  имеет при х→х0 конечный предел А, то разность f(x) –A –б.м величина.

Доказательство: по условию limf(x)=A   α- f(x)-A

Lim α-lim [f(x)-A]=lim f(x)-limA=A-A=0 ⇒α –б.м

х→0   х→0              х→0    х→0

здесь справедливо и обратное утверждение, если    f(x)-A в некоторой окрестности есть величина б.м, то limf(x)=A

                                                                                                                                                                                    х→0