Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Августа 2013 в 22:38, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы по дисциплине "Физика".
Если подставить это выражение в формулу , то решение уравнения Шрёдингера приобретает вид:
Следовательно: состояние частицы в данный момент времени описывается периодической функцией времени с циклической частотой , определяемой полной энергией частицы; – плотность вероятности не зависит от времени (состояние является стационарным).
Движение свободной частицы
Пусть – скорость частицы. Будем считать, что силовое поле отсутствует, т.е. U = 0. Направляя ось OX вдоль вектора получаем следующее стационарное уравнение Шрёдингера:
Его решение имеет вид: , где А, В – const.
Решение полного уравнения Шрёдингера:
Решение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты , распространяющихся навстречу друг другу. То есть свободной частице в квантовой механике сопоставляется плоская монохроматическая волна де Бройля с волновым числом .
Вероятность обнаружить частицу не зависит от времени .
Квантование энергии частицы в потенциальной яме
Рассмотрим бесконечно глубокую одномерную потенциальную яму – частица может двигаться только вдоль оси 0X.
Движение ограничено непроницаемыми стенками: x = 0, x = .
при ,
при , .
Будем использовать стационарное уравнение Шрёдингера для одномерного случая:
За пределами ямы ( ) вероятность обнаружить частицу равна нулю:
В области ямы:
, введем обозначение .
Решение этого уравнения имеет вид: .
Учитывая граничные условия , получаем:
, т.е. ;
, для выполнения этого условия необходимо, чтобы , n = 1, 2, 3, … Следовательно:
Собственные функции . Из условия нормировки находим А:
, с учетом в результате интегрирования получаем . Следовательно:
Квантование энергии линейного гармонического осциллятора
Гармоническим линейным осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы . Здесь k – коэффициент упругости, связанный с массой частицы и циклической частотой её колебаний формулой . Потенциальная энергия гармонического осциллятора:
Собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора:
– энергия осциллятора квантована, то есть она может иметь лишь дискретные значения, определяемые значением квантового числа n.
При больших значениях n величина и энергетические уровни осциллятора совпадают с теми величинами квантованной энергии осциллятора , которые принимались Планком для истолкования законов абсолютно черного тела.
Существенное отличие полученного результата от результатов и выводов теории Планка и классической теории линейного гармонического осциллятора заключается в вопросе о наименьшей энергии осциллятора. По классической теории (по теории Планка при n = 0) наименьшая энергия осциллятора равна нулю: осциллятор при этом не колеблется и находится в положении равновесия. Рассматривая в первом приближении атомы твердого тела как осцилляторы, классическая физика приводит к результату, что при температуре абсолютного нуля (T=0) такие атомы не должны совершать колебаний. Согласно квантовой теории . Эта энергия называется нулевой энергией и не может быть отнята от осциллятора никаким охлаждением вплоть до абсолютного нуля.
Наличие нулевой энергии и
Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер
Различие в поведении
Квантовая механика приводит к принципиально новому выводу о возможности прохождения («просачивания») частиц сквозь потенциальный барьер. Это явление называется туннельным эффектом.
Введем понятие прозрачность D потенциального барьера:
где – интенсивность падающей на барьер волны де Бройля, – интенсивность прошедшей сквозь барьер волны де Бройля, D – вероятность прохождения волн де Бройля сквозь потенциальный барьер или вероятность просачивания частицы сквозь потенциальный барьер. Коэффициент отражения R = 1 – D. Расчеты показывают, что прозрачность барьера зависит от формы потенциального барьера и его высоты. Для прямоугольного потенциального барьера с высотой U0 и шириной l:
где m - масса частицы, E – ее энергия, D0 – постоянный коэффициент, близкий к единице.
В случае, когда потенциальный барьер имеет сложную форму:
С точки зрения классической механики полная энергия частицы равна сумме потенциальной и кинетической энергии:
Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер получило экспериментальное доказательство в явлении холодной эмиссии электронов из металла: вырывание электронов из металлов электрическими полями происходит при напряженностях электрического поля, в сотни раз меньших, чем те, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле под действием внешнего электрического поля преодолел поверхностный скачек потенциала на границе металл-вакуум и покинул металл.
Явление автоионизации (вырывания электрическим полем из отдельных атомов и молекул электронов) также происходит благодаря туннельному эффекту.
Строение атомов
В 1897 г. Дж. Томсоном был открыт электрон; им же в 1903 г. предложена затем физическая модель атома, известная под названием «пудинг с изюмом»: атом по Томсону представляет собой положительно заряженную сферу – пудинг, в котором роль изюминок играли отрицательно заряженные электроны, распределенные так, что вся система в целом была нейтральной. Размеры атома м.
В 1911 г. Э. Резерфорд исследовал рассеяние -частиц (ядер атома гелия, испускаемые некоторыми веществами при радиоактивном распаде) при прохождении через тонкий металлический слой-фольгу.
Из формулы Резерфорда следует, что число - частиц, рассеянных за единицу времени внутрь единичного телесного угла, равно:
– формула Резерфорда, где Е – энергия частицы, – элементарный заряд, – угол рассеяния - частицы, n – плотность потока -частиц, налетающих на ядро – единица измерения [n] = [м-2с-1]. Для Е = const величина , что было экспериментально подтверждено в опытах Гейгера и Марсдена.
Исходя из записанной формулы удается получить значение числа Z элементарных положительных зарядов в ядре атомов рассеивающей фольги. Согласно опытам это число равно порядковому номеру Z элемента в периодической таблице Менделеева.
По известному заряду ядра Ze можно определить верхний предел размеров ядра. Для оценки рассмотрим центральный удар -частицы о ядро, который соответствует углу рассеяния . Из закона сохранения энергии следует, что в момент наибольшего сближения -частицы с ядром ее кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную энергию их взаимодействия:
Например, для серебра Z=47, , . Тогда радиус ядра в атоме серебра:
Электроны в атоме должны двигаться около ядра по орбитам, зависящим от энергии электронов. Ядерная модель Резерфорда очень напоминает солнечную систему. Поэтому данную модель часто называют планетарной. Атому свойственная исключительная устойчивость, поэтому орбиты электронов должны быть стационарными.
Однако, с классической точки зрения при движении электрона по орбите с радиусом его скорость для атома водорода: , а центростремительное ускорение . При этом электрон должен излучать электромагнитные волны (при этом терять свою кинетическую энергию и соответственно скорость): то есть электрон должен двигаться по спирали, приближаясь к ядру. В итоге электрон должен упасть на ядро. Но реально этого явления не наблюдается. Поэтому невозможность объяснения такого факта явилось недостатком планетарной модели атома Резерфорда.
Вместе с этим, ввиду того, что при приближении электрона к ядру его центростремительное ускорение и частота вращения непрерывно изменяются, спектр излучения должен быть непрерывным. Однако экспериментально обнаружено линейчатых спектров атома водорода.
Спектральные серии излучения атомарного водорода
В 1885 г. И.Бальмер установил, что длины известных линий спектра могут быть вычислены по формуле:
где n = 3, 4, 5, …; ( – ангстрем, 1 = 10-10 м).
Эту формулу можно переписать, используя соотношение ( – собственная частота, – длина волны, с – скорость света) так:
Все линии, отличающиеся различными значениями n, образуют группу или серию линий, называемую серией Ба‘льмера.
Ридберг показал, что в линейных спектрах элементов наблюдаются спектральные серии, причем всех линий данной серии удовлетворяют соотношению: , где n2 и n1 – целые числа. Величины T(n2) и T(n1) называют спектральные термы. Для данной серии n2 имеет постоянное значение 2. Для серии Бальмера:
В 1908 году Ритцем был изложен комбинационный принцип: частоты спектральных линий излучения любого атома могут быть представлены в виде разности двух термов; составляя различные комбинации термов, можно найти все возможные частоты спектральных линий этого атома.
В 1908 г. Пашеном обнаружены серии линий спектра водорода в инфракрасной области:
n = 4, 5, 6, …; – серия Пашена;
В ультрафиолетовой области:
n = 2, 3, 4,…; – серия Лаймана;
В далекой инфракрасной области:
n = 5, 6, 7,…; – серия Брекета;
n = 6, 7, 8, …; – серия Пфунда;
n = 7, 8, 9, …; – серия Хэмфри.
Общую формулу можно записать в следующем виде:
n = m + 1, m + 2.
Модель атома водорода по Бору
Первая попытка неклассической теории атома была предпринята Нильсом Бором в 1913 году. Классическое описание Н.Бор дополнил некоторыми ограничениями, накладываемые на возможные состояния электронов в атоме. Они были сформулированы в виде постулатов. Теория Бора применима к водородоподобной системе, состоящей из ядра с зарядом Ze и одного электрона, вращающегося вокруг ядра (напр. ).
1-ый постулат (постулат стационарных состояний) |
Существуют некоторые стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает энергии |
2-ой постулат (правило квантования орбит) |
В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию , где n = 1, 2, 3, …; m – масса электрона, скорость электрона, r – радиус орбиты электрона, n – число, равное числу длин волн де Бройля для электрона, укладывающихся на длине круговой орбиты. |
3-ий постулат (правило частот) |
При переходе атома из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один квант энергии: . При происходит излучение кванта, при его поглощение. |