Анализ динамики объемов экспорта и импорта Великобритании за период с 1977 по 2007 гг

,  (2.5)

 

Если отдельные  периоды интервального ряда динамики имеют неодинаковую длину, то для определения среднего уровня следует воспользоваться средней арифметической взвешенной.

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле, получившей название средней хронологической:

,  (2.6)

Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени  служит средний абсолютный прирост – среднее значение цепных абсолютных приростов за равные промежутки времени.

Если абсолютные приросты обозначить через D₁, D₂, D₃, ..., то средний абсолютный прирост, обозначаемый через , может быть найден по формуле:

,  (2.7)

где п-1 – число цепных показателей абсолютного прироста за период.

Так как SD_t равна разности между последним и первым уровнями у_п - у₁, то средний абсолютный прирост можно найти по формуле:

,  (2.8)

При исчислении среднего темпа роста  нужно учитывать, что интенсивность развития явлений идет по правилам сложных процентов, где накладывается прирост на прирост. Поэтому средний темп роста принято вычислять по формуле средней геометрической на основании цепных темпов роста.

Если через T_p1, T_p2, T_p3, ... , Т_р обозначить цепные темпы роста за равные промежутки, то средний темп роста выразится формулой:

,  (2.9)

где – средний темп роста; n-1 – число темпов роста.

Поскольку цепной темп роста является отношением последующего уровня ряда к непосредственно предшествующему, так что ; ,..., в формуле средней геометрической подкоренное выражение преобразуется:

  (2.10)

Следовательно, средний темп роста  может быть представлен формулой:

,  (2.11)

где п – число уровней; у_п – уровень последнего года (периода); у₁ – уровень первого года (периода).

Для расчета средних темпов прироста пользуются следующим соотношением:

  (2.12)

Результаты расчета средних  показателей динамики экспорта и  импорта Великобритании представлены, соответственно, в табл. 2.3 – 2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 2.3

Средние показатели динамики экспорта Великобритании по периодам

 

Показатели	Периоды
	1980-1989	1993-2001	2001-2007	1977-2007
Средний уровень ряда , млрд. $	113,39	251,05	346,31	203,91
Средний абсолютный прирост , млрд. $	6,69	8,55	27,95	12,64
Средний темп роста	1,06	1,04	1,08	1,07
Средний темп прироста	0,06	0,04	0,08	0,07

 

Таблица 2.4

Средние показатели динамики импорта Великобритании по периодам

 

Показатели	Периоды
	1980 - 1989	1993 - 2001	2001 - 2007	1977-2007
Средний уровень ряда , млрд. $	130,25	286,55	448,59	245,00
Средний абсолютный прирост , млрд. $	9,96	11,05	49,98	18,59
Средний темп роста	1,07	1,04	1,12	1,08
Средний темп       прироста	0,08	0,04	0,12	0,08

 

3. Анализ тренда динамики экспорта и импорта Великобритании

3.1 Выравнивание по скользящей  средней

 

Одной из важнейших задач статистического  анализа рядов динамики является выявление и описание основной тенденции развития изучаемого явления, закономерности изменения уровней ряда. Основная тенденция развития того или иного явления складывается под воздействием долговременно действующих внутренних и внешних причин и условий, благодаря которым, в основном, формируется величина уровня ряда. При анализе рядов динамики могут быть выделены четыре компоненты, формирующие уровни:

,  (3.1)

где   T – главная компонента, отражающая основную тенденцию развития, так называемый тренд; C – циклическая (конъюнктурная) компонента; S – сезонная компонента; e – случайная компонента.

Для выявления и анализа общей тенденции развития изучаемого явления необходимо абстрагироваться от влияния нетрендовых факторов. Достичь этого, в определенной степени, позволяют приемы сглаживания или выравнивания временного ряда.

Один из наиболее простых приемов сглаживания  заключается в расчете скользящих, или, как иногда их называют, подвижных  средних. Применение последних позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить присутствующую в развитии тенденцию.

Пусть динамический ряд состоит из уровней y_t, t = 1, ..., n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (т < n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых т уровней, переходят к расчету средней для уровней y₂, ..., y_т+i, затем y₃, ..., y_m+2 и т. д. Таким образом, интервал сглаживания, т. е. интервал, для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. Если т нечетное число, а предпочтительнее брать именно нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить конкретное фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

,  (3.2)

где –  значение скользящей средней для момента t; y_i –  фактическое значение уровня в момент i; i – порядковый номер уровня в интервале сглаживания; m – интервал сглаживания (период скольжения).

Величина р легко определяется из продолжительности интервала сглаживания. Поскольку т = 2р + 1 при нечетном т, то:

,  (3.3)

Проведем сглаживание динамического  ряда 3-х и 7-и членными скользящими средними. На рис. 3.1 – 3.2 показано сглаживание динамического ряда экспорта Великобритании за весь период (с 1977 по 2007 гг.), соответственно, 3-х и 7-и членными скользящими средними. А на рис. 3.3 – 3.4 – сглаживание динамического ряда импорта Великобритании за тот же период, соответственно, 3-х и 7-и членными скользящими средними.

 

 

Рис. 3.1. Сглаживание динамического ряда экспорта 3-х членными           скользящими средними

 

Рис. 3.2. Сглаживание динамического  ряда экспорта 7-и членными            скользящими средними

 

Рис. 3.3. Сглаживание динамического ряда импорта 3-х членными            скользящими средними

 

Рис. 3.4. Сглаживание динамического ряда импорта 9-и членными             скользящими средними

На представленных графиках отчетливо  видно, что выравнивание с периодом скольжения семь и девять лет лучшие сглаживает динамический ряд.

4. Аналитическое выравнивание динамического ряда

 

Кривые  роста, описывающие закономерности развития явлений во времени – это результат аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций (т. е. их подгонка к данным) в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных. Это средство при соблюдении ряда условий можно применить и для прогнозирования. Процесс выравнивания состоит из следующих основных этапов:

• выбора типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;
• определения численных значений (оценивание) параметров кривой.

Аналитическое сглаживание с использованием той или иной функции позволяет получить выровненные значения уровней динамического ряда, т. е. такие уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой.

Вопрос  о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. В качестве уравнений тренда будем использовать следующие формы:

1. Линейная форма тренда - .
2. Полином 2-й степени - .
3. Полином 3-ей степени - .
4. Экспоненциальная форма тренда - .

Первым делом, с помощью ППП «STATISTICA», построим уравнения тренда для ряда экспорта Великобритании за период 1980 – 1989 гг.

На рис. 4.1 – 4.2 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда.

 

Рис. 4.1. Результаты расчета параметров линейной модели тренда

В таблице на рис. 4.1 названия столбцов означают следующее:

Estimate – числовые значения параметров уравнения;

Standard еrror – стандартная ошибка параметра;

t-value – расчетное значение t-критерия;

df – число степеней свободы (n-2);

p-level – расчетный уровень значимости;

Lo. Conf. Limit и Up. Conf. Limit – соответственно нижняя и верхняя граница доверительных интервалов для параметров уравнения с установленной вероятностью (указана как Level of Confidence в верхнем поле таблицы).

Таким образом, уравнение линейной модели регрессии имеет вид:

.

 

Рис. 4.2. Результаты дисперсионного анализа  линейной модели тренда

В верхней заголовочной строке таблицы на рис. 4.2. выдаются пять оценок:

Sum of Squares – сумма квадратов отклонений;

df – число степеней свободы;

Mean Squares – средний квадрат;

F-value – критерий Фишера;

p-value – расчетный уровень значимости F-критерия.

В левом столбце указывается  источник вариации:

Regression – квадраты теоретических (полученных по тренда) значений признака;

Residual – отклонения фактических значений от теоретических (полученных по уравнению тренда);

Total – отклонения фактических значений от их средней величины.

На пересечении столбцов и строк  получаем однозначно определенные показатели:

Regression / Sum of Squares – сумма квадратов прогнозных значений;

Residual / Sum of Squares – сумма квадратов отклонений теоретических и фактических значений (для расчета остаточной, необъясненной дисперсии);

Total / Sum of Squares – сумма первой и второй строчки (сумма квадратов фактических значений);

Corrected Total / Sum of Squares – сумма квадратов отклонений фактических значений от средней величины (для расчета общей дисперсии);

Regression vs. Corrected Total / Sum of Squares – повторение первой строчки;

Regression / Mean Squares – сумма квадратов прогнозных значений, деленная на число степеней свободы;

Residual / Mean Squares – остаточная, необъясненная дисперсия;

Regression vs. Corrected Total / Mean Squares – повторение первой строчки;

Regression / F-value – расчетное значение F-критерия.

На рис. 4.3 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для линейной модели тренда.

 

Рис. 4.3. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                 для линейной модели тренда

Столбцы таблицы на рис. 4.3 означают следующее:

Observed – наблюдаемые значения (то есть уровни исходного динамического ряда);

Predicted – прогнозные значения (полученные по уравнению тренда для данных моментов времени);

Residuals – остатки (разница между фактическими и прогнозными значениями).

 

Аналогичным образом построим другие уравнения тренда.

На рис. 4.4 – 4.5. представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени.

 

Рис. 4.4. Результаты расчета параметров полинома 2-й степени

Таким образом, полином 2-й степени имеет вид:

.

 

Рис. 4.5. Результаты дисперсионного анализа полинома 2-й степени

На рис. 4.6 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 2-й степени.

 

Рис. 4.6. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                  для полинома 2-й степени

На рис. 4.7 – 4.8 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени.

На рис. 4.9 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для полинома 3-й степени.

Таким образом, полином 3-й степени  имеет вид:

.

 

Рис. 4.7. Результаты расчета параметров полинома 3-й степени

 

Рис. 4.8. Результаты дисперсионного анализа полинома 3-й степени

Рис. 4.9. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                  для полинома 3-й степени

На рис. 4.10 – 4.11 представлены, соответственно, результаты расчета параметров и результаты дисперсионного анализа экспоненциальной модели тренда.

На рис. 4.12 представлена таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков для экспоненциальной модели тренда.

 

Рис. 4.10. Результаты расчета параметров экспоненциальной модели тренда

Таким образом, уравнение экспоненциальной модели регрессии имеет вид:

  .

 

Рис. 4.11. Результаты дисперсионного анализа  экспоненциальной модели тренда

 

Рис. 4.12. Таблица наблюдаемых, прогнозных значений и остатков                для экспоненциальной модели тренда

Для выбора лучшей модели сведем полученные данные (полученные уравнения моделей  трендов и коэффициенты детерминации) в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Уравнения моделей трендов и коэффициенты детерминации

№	Модель	Уравнение
1	Линейная		0,5761
2	Полином 2-й     степени		0,9621
3	Полином 3-й    степени		0,9705
4	Экспоненциальная		0,6371