Гидрологиядағы статистикалық есептеулер

      ,                                  (4) 

     бұл теңдеуде және β орталық моменттер арқылы өрнектелді.

       болған жағдайда, тең болады, яғни , содан (5) интегралдық теңдеуі келесі түрге: 

      ,                              (6) 

     ал  дифференциалдық (6) теңдеуі – келесі түрге келтіріледі:

                                           (7) 

       болған жағдайда (7) өрнегі түріндегі биномдық интегралдық үлестірім қисығын (6) қарағанда, екі параметерлі гамма үлестірім деп атаймыз, өйткені бұл теңдеуге бақылау деректері бойынша анықталуы тиіс ( және ) екі параметр ғана енеді.

     Келтірілген қатынастар: ; ; негізінде және модульдік коэффициентті белгілеу арқылы сәйкесінше (6) және (7) теңдеулері төмендегідей жазылады:  

                               (8) 

                               (9) 

     Әрбір нақты жағдайда (2.15) және (2.16) теңдеулерінің  сандық шешімін табу күрделі мәселе болып табылады. Сондықтан қалыпты  есептік кесте құрастырылған, оны  пайдалана отырып, , және шамаларының өзгеруіне қарай қамтамасыздық қисығының ординаталарын анықтауға боады.

     Гидрологиялық әдебиетте бұл кесте « болған жағдайда биномдық қисық ординаталарының ортаңғы мәннен ауытқуы» деген атаумен келтіріледі, оның үстіне t_p шамасы Ф_p арқылы белгіленеді. Негізінен, бұл кестені «биномдық қамтамасыздық қисығының қалыптандырылған ординаталары» деп атаған орынды болар еді (3 қосымша):  

     

. 

     Қатардың  қалыптандырылған мәндерінен оның нақты  мәндеріне көшу мына формула арқылы жүзеге асырылады: 

                                 

                                    (10)              

   7С.Н. Крицкий және М.Ф. Менкельдің ықтималдық үлестірім қисығы 

   Гидрологиялық есептеулер практикасында кеңінен  қолданылатын Пирсонның ІІІ типті  ықтималдық үлестірім қисығының  елеулі кемшілігінің бар екендігі белгілі. Бұл кемшілік мынаған саяды: болған жағдайда зерттелетін сипаттамалар үлкен қамтамасыздық аймағында теріс мәндерге ие болады, ал бұл ағынды процесінің физикалық мәніне кереғар. Сондықтан да ағындыны есептеу үшін басқа үлестірім қисықтары, сондай-ақ биномдық қисықтың кейбір өзгертілген түрлері ұсынылды.

   С.Н. Крицкий және М.Ф. Менкель ағынды сипаттамаларын есептеу үшін анағұрлым  ыңғайлы үлестірім қисығын ұсынды. Бастапқы үлгі ретінде олар және болғандағы биномдық үлестірім қисығын алған болатын. Үлестірім қисығын және параметрлерінің кез-келген қатынастарында, айнымалы мәндері шекте өзгеретін статистикалық қатарларға қолдануға жарамды ету үшін, олар z айнымалысының бастапқы мәнін z мәнімен теңдеу арқылы байланысқан, басқа х айнымалысымен алмастырды, мұндағы а және b параметрлері бақылау деректері негізінде анықталады.

   Пирсонның ІІІ типті үлестірім қисығының  болған кездегі бастапқы теңдеуі жаңа үлестірім заңына келесі формула бойынша ауысады:

    ,                                         (1) 

   мұндағы (2.14) өрнегі бойынша анықталады: 

                                

   Мұндай  жағдайда , ескере отырып, үлестірім заңын төмендегідей өрнектеуге болады: 

                (2) 

   х шамасын модульдік коэффициент түрінде өрнектей отырып, және екенін ескере отырып, формуланы толықтай былайша жазуға болады: 

                           (3) 

   α және b үлестірім параметрлері және және стандартты параметрлері арасындағы байланыс трансцендентті теңдеу арқылы көрініс береді:  

                                                 (4) 

                           (5) 

   (4) және (5) теңдеулерінің біріктірілген шешімінің есептік алгоритмі өте күрделі. Сондықтан да қамтамасыздық қисығының параметрлері / белгілі бір қатынастарына құрастырылған бірқатар кестелер арқылы беріледі (4 қосымша). Әрбір кестеде аралығы болып келетін, 0,1-ден 2,0 аралығында өзгеретін үшін / белгілі бір қатынастарына модульдік коэффициенттегі қамтамасыздық қисығының координаталары келтіріледі 

   

 

   Сонымен, Крицкий-Менкель үлестірімі үш параметр арқылы анықталады: - орташа мәнмен, - өзгергіштік коэффициентімен және - асимметрия коэффициентімен, сол себептен де ол үш параметрлі гамма үлестірім деп аталынады. және b=1 болған кезде, ол екі параметрлі гамма үлестірімге сәйкес келеді (2.14).

   Крицкий-Менкель  үлестірімі асимметриялы болып келеді, және асимметрия коэффициенті теріс  мәндерді қабылдауы мүмкін. Үлестірім  қисығының кескіні  , және олардың / қатынастарына тәуелді.

   Крицкий-Менкель  қамтамасыздық қисықтарының негізгі  артықшылығы мынада: кез-келген қатынастағы  және аралығында х шамасының өзгеруі интервалымен шектеледі.

   Биномдық  үлестірім қисығын және Крицкий-Менкель  қисығын пайдалана отырып есептелген есептеулер нәтижелері олардың 1 – 99 % қамтамасыздықтары шегінде толықтай сәйкестігін көрсетті. Экстраполяция облыстарында кішігірім айырмашылық байқалады. Қарастырылып отырған қамтамасыздық қисықтары ординаталарының арасындағы қатынас / тәуелді.

     болған кезде үлкен қамтамасыздық  аймақтарында  үш параметрлі гамма үлестіріміне биномдық қисықпен салыстырғанда қамтамасыздық қисығы ординаталарының төменгі мәндері сәйкес келеді; кіші қамтамасыздық аймағында - керісінше. Бұл барлық жағдайда үш параметрлі гамма үлестірімнің төменгі шегі нөлге тең екендігімен, ал Пирсонның ІІІ типті қисығы жағдайында оң сандарымен шектелетіндігімен байланысты. Вариация және асимметрия коэффициенттерінің арақатынасы болғанда екі қисық бір-біріне толықтай сәйкес келеді. болғанда үлкен және кіші қамтамасыздықтар аймақтарында қарастырылып отырған қисықтар ординаталары арасындағы қатынас болғандағыға қарағанда қарама-қарсы шамаға қарай өзгереді, оның үстіне аймағында қисықтар арасындағы айырмашылық айтарлықтай үлкен болуы мүмкін.  

     8Логарифмдік қалыпты үлестірім 

     Үлкен асимметрияға ие метеорологиялық және гидрологиялық шамалар қатарларын (ең жоғарғы ағынды, жауын-шашын) ықтималдық тұрғыдан сипаттау және есептеу үшін көп жағдайда логарифмдік қалыпты  үлестірім қолданылады /6, 43/.

     Логарифмдік қалыпты үлестірімнің екі түрі қолданылады. Бірінші жағдайда өрнегі бойынша бақылау қатарының мүшелері логарифмдік түрлендіріледі, және у₁, у₂,... у_n түрлендірілген шамалары қалыпты үлестірім арқылы сипатталады. Егер х₁, х₂,... х_n бастапқы шамалары 0-ден ∞-ке дейінгі аралықты қамтыса, онда у₁, у₂,... у_n түрлендірілген шамалары -∞-ден ∞-ке дейінгі аралық шегінде өзгере бастайды, яғни үлестірім сипаты бойынша қалыпты үлестірім заңына жақындайды.

     Мұндай  тәсіл техникалық тұрғыдан өте қарапайым  және оның басты артықшылығы мынада: қалыпты үлестірім заңын қолдану  осы үлестірімге қатысты математикалық  статистикада қолданылатын әдістемелік  құралдардың барлық түрін пайдалануға  мүмкіндік береді.

     Логарифмдік қалыпты қисықты тұрғызу үшін келесі шарттарды орындау керек:

     1) бастапқы қатарды логарифмдеу керек;

     2) бастапқы шамалар қатары логарифмінің  статистикалық сипаттамаларын есептеу  керек:

     

,

     

 

     3) логарифмдік қалыпты заңның теориялық  қамтамасыздық қисығын келесі  формула бойынша тұрғызу керек:

     

,

     мұндағы - қалыптандырылған қалыпты үлестірілген шама (2 қосымшаны қараңыз).

     Сондай-ақ болған кезде биномдық үлестірім кестесін (3 қосымшаны қараңыз) қолдануға болады.

     4) Төмендегі формула бойынша қамтамасыздық  қисығына сәйкес келетін ағындының  нақты шамаларын анықтау керек:  .

     Дегенмен, мұндай тәсілдің кемшілігі де бар, ол мынада: талдау жүргізу кезінде «логарифмдік тілге» жүгіну қажет. Қарастырылып отырған  шамалар мен олардың параметрлері логарифмдік бірліктерде өрнектеліп, логарифмдік шкалада ықтималдық үлестірім қисығы тұрғызылады және қажетті салыстырулар жүргізіледі, тек есептеулердің соңында қорытынды  сипаттамалар натурал бірліктермен өрнектеледі /6, 31, 59/.

     Логарифмдік түрлендірудің келесі түрінің мәні мынада: ол таңдама мүшелерін емес, қалыпты үлестірімнің ықтималдық тығыздығын және нөлден шексіздікке дейінгі  аралықта өзгеретін асимметриялық  заңды түрлендірумен сипатталады. Ол үшін бір заңды екінші бір заңға  аналитикалық түрлендіруге мүмкіндік  беретін жоғарыда келтірілген (2.18) формуласын пайдалануға болады.

     Х шамасын функционалды түрлендіру арқылы у-ті алуға болады делік, яғни

     

,

     онда  у шамасының үлестірім тығыздығын біле отырып, төмендегі формула бойынша (2.18) х шамасының үлестірім тығыздығын табуға болады: 

     

, 

     мұндағы .

     Бұл формулаға  мәнін қойып және тең екендігін ескере отырып, мынаны аламыз: 

                                          (1) 

     Қалыпты заңнан алынып, логарифмдік түрлендірілген үлестірім (2.23) логарифмдік қалыпты  үлестірім деп аталынады.

     Бұл үлестірім бастапқы қалыпты үлестірімге  қарағанда, басқа да сипаттамаларға ие. Кездейсоқ шама өзгерісі дейінгі облыс аралығымен шектеледі. Сондықтан да үлестірім асимметриялы, асимметрия коэффициентінің өзгергіштік коэффициентімен байланыстылығы төмендегідей қатынаста: 

                                      (2) 

     Сонымен логарифмдік қалыпты үлестірімнің гамма үлестірімге қарағанда  асимметриялығы елеулі.

     Қарастырылып  отырған х және қатарлары арасындағы байланыс келесі қатынастар арқылы өрнектеледі:

     

 

     немесе       

                                               (3) 

                                                                                 (4)       

                                            (5) 

     Сондай-ақ (2.25) және (2.27) өрнектерінің кері қатынастарын да келтіруге болады: 

                         (6) 

                         (7) 

     Қандай  да бір қамтамасыздыққа ие х_р шамасы үшін төмендегідей өрнектеуге болады: 

            (8) 

       шамасы  үлестірімін сипаттайтын қалыпты үлестірім қисығы параметрлеріне байланысты мынадай түрде көрсетіледі: 

      ,                             (9) 

     мұндағы .

     (9) өрнегінің негізінде Х шамасы қатарының асимметрия коэффициентіне байланысты шамасын анықтауға мүмкіндік беретін кесте құрастырылған [2]. Сонымен бірге болған кезде ғана бұл кестені логарифмдік қалыпты қамтамасыздық қисығын тұрғызу үшін пайдануға болатынын ескерген жөн. Бұлай болмаған жағдайда қамтамсыздықтың кейбір мәндерінде қисық теріс сандар аумағына өтеді.