Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

     Предположим наличие линейной зависимости между  рассматриваемыми признаками.

     Система нормальных уравнений для данного  примера имеет вид

     

     

     Отсюда: ; .

     Следовательно, . Таким образом, при увеличении числа профессионалов фирмы на одного человека ее совокупная выручка увеличится в среднем на 34 тыс. руб.

     На  практике часто исследования проводятся по большому числу наблюдений. В этом случае исходные данные удобнее представлять в сводной корреляционной таблице. При этом анализу подвергаются сгруппированные данные и по факторному , и по результативному признакам, т.е. уравнение парной регрессии целесообразно строить на основе сгруппированных данных.

     Если  значения признаков  и заданы в определенных интервалах (а – b), то для каждого интервала сначала определяют середину интервала , а затем уже коррелируют значения и и строят 2 уравнения регрессии между ними.

     Пример. Определим зависимость между величиной капитала и объемом вложений в ценные бумаги коммерческих банков РФ на 01.01.2002 г. (табл. 9.3).

     Система нормальных уравнений для определения  коэффициентов уравнения регрессии примет вид:

где - число анализируемых коммерческих банков;

    ; - число банков согласно распределению соответственно по факторному и результативному признакам;

    ; - значение результативного и факторного признаков по конкретной группе коммерческих банков.

     Так, для первой группы:

     

;

     

;

     

;

     

.

     Таким образом, подставив в систему  суммарные значения, получим:

     

     

; .

     Отсюда: .

     Если  связь между признаками и криволинейная и описывается уравнением параболы второго порядка, то

     

.

     В данном случае задача сводится к определению  неизвестных параметров: , , .

     Значения  величин  и представлены двумя рядами данных:

     Если  бы все значения, полученные по данным наблюдения, лежали строго на кривой, описываемой  уравнением параболы, или для каждой из точек было бы справедливо равенство:

     

,

то не существовало бы никаких проблем. Однако на практике имеем другое:

     

где - разность между данными наблюдения и данными, полученными по уравнению связи.

     Эта разность как раз и появляется из-за ошибок упрощения, поэтому возникает проблема нахождения таких коэффициентов уравнения (регрессии), при которых ошибка была бы минимальной. Можно минимизировать сумму абсолютных отклонений (ошибок), т.е.

     

,

или минимизировать сумму кубических ошибок, и тогда  получим метод наименьших кубов:

     

,

или, наконец, минимизировать наибольшую абсолютную ошибку:

     

.

     Однако  наиболее оптимальным вариантом  является оценка ошибки по методу наименьших квадратов:

     

.

     Метод наименьших квадратов обладает тем  замечательным свойством, что делает число нормальных уравнений равным числу неизвестных коэффициентов. Приведенное уравнение параболы второго порядка имеет три неизвестных коэффициента: , , .

     Следовательно, применяя метод наименьших квадратов, мы получим уравнение:

     

.

     Для нахождения значений неизвестных коэффициентов  , , , при которых функция была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам нулю, т.е.

     

     Проделав  простейшие преобразования, получим систему нормальных уравнений:

     Решив систему, найдем значения неизвестных  коэффициентов  , , и получим уравнение регрессии. Вычислим по уравнению регрессии теоретические значения и сравним с данными наблюдения, т.е. рассчитаем так называемую остаточную сумму квадратов (табл. 9.4).

 

     Остаточная  сумма квадратов совпадает с  минимальной возможной величиной  по методу наименьших квадратов.

     Оценка  обратной зависимости между и , когда с увеличением (уменьшением) уменьшается (увеличивается) результативный признак , может быть осуществлена на основе уравнения гиперболы:

     

.

     Систему нормальных уравнений для нахождения параметров гиперболы можно представить  следующим образом:

     Применение  метода наименьших квадратов объясняется  неизбежным наличием случайных ошибок в результатах опыта.

     Статистические  данные обладают ошибками упрощения, которые  возникают как  следствие:

• неполноты охвата, потому что часть единиц совокупности, полученных в результате наблюдения, не может быть использована в исследовании;
• неполноты факторов, определяющих то или иное социально-экономическое явление, в силу того, что ни в одно уравнение, или модель, нельзя включить бесконечное число аргументов (во всех случаях отбирается только часть воздействующих факторов, причем отбор носит чисто субъективный характер);
• характера выбранного уравнения связи. Как бы хорошо оно ни было обосновано, как бы теоретически адекватно ни описывало исследуемое явление, оно не может быть его точным аналогом.

     Решение вопроса о возможности использования  метода наименьших квадратов для  изучения связей между социально-экономическими явлениями зависит от свойства оценок, получаемых с помощью этого метода.

     Даже  при сравнительно небольшом числе наблюдений применение метода наименьших квадратов позволяет получить достоверные оценки.

     Метод наименьших квадратов может быть также использован в анализе  косвенных наблюдений, являющихся функциями  многих неизвестных.

     Обобщенная блок-схема построения уравнения парной регрессии представлена на рис. 9.5.

 

     9.4

     МНОЖЕСТВЕННАЯ (МНОГОФАКТОРНАЯ) РЕГРЕССИЯ