Интеграл

Аналогией интеграла  по траекториям для точечной частицы  является статистическая сумма (статистический вес) для полимерной нити.

Точное вычисление

Как уже упоминалось  выше, точное вычисление функционального  интеграла вида

где k может быть чисто мнимым в квантовом случае или действительным в случае классической диффузии, возможно лишь в случае, когда он относится к гауссовскому типу, то есть, когда действие S квадратично по x (лагранжиан квадратичен по x и его производным, или, может быть, еще в некоторых подобных случаях: главное, чтобы S было квадратичной формой, в вещественном случае отрицательно определенной).

Способ сводится к написанию дискретного варианта, в соответствии с определением в  начале статьи. Затем (обычные) интегралы, входящие в формулу, точно берутся (как гауссовы), и тогда можно перейти к пределу.

Приближенное вычисление

Численные методы

Вычислительные  методы, связанные с нахождением  значений континуальных интегралов при помощи ЭВМ, в том числе  квадратурные формулы типа формул Симпсона и другие методы к 2010 году разработаны  довольно обширно, хотя используются в  основном лишь узкими специалистами  и в большинстве своём не известны физикам.

Первое появление  интегралов по траекториям относится, по-видимому, к работам Эйнштейна и Смолуховского по теории броуновского движения.

Основы математической теории таких интегралов связаны  с работами Винера 1920-х годов. Однако до сих пор строгая и достаточно полная их математическая теория встречается с существенными трудностями (связанными с вопросом корректного введения меры на пространстве функций, с проблемой доказательства независимости предела от типа разбиения в достаточно общем случае).

В 1933 году (в работе «Лагранжиан в квантовой механике») Дирак предложил идею использования интеграла по траекториям в квантовой механике.

Фейнман в конце 1940-х реализовал эту программу, разработав формализм континуального интеграла, оказавшийся крайне плодотворным в теоретической физике. Это означало появление технически нового (имевшего — кроме чисто технических — к тому же ряд интуитивных преимуществ) метода построения квантовых теорий, ставшего впоследствии едва ли не самым популярным среди теоретиков. Уже сам Фейнман на основе формализма континуального интеграла построил такую базовую технику квантовой теории поля, как диаграммы Фейнмана.

С помощью использования  континуального интеграла были получены такие фундаментальные результаты, как, например, доказательство перенормируемости теории Янга — Миллса(Фаддеевым и Поповым).

Экономика

Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении  доходов используется математика, а  именно, интегральное исчисление.