Шпаргалки по "Сопротивлению материалов"

Осевые моменты инерции  простейших сечений (рис. 2.35):

Рис. 2.35. Осевые моменты инерции

1. Прямоугольник

; ;     (2.26)

2) Треугольник равнобедренный 

, ;     (2.27)

3) Круг 

.      (2.28)

13. Правило знаков для Q_y и M_u. Расчет балок на прочность.

Рис . 2.32. Правило знаков для момента

Если внешняя нагрузка стремиться изогнуть балку выпуклостью  вниз, то -  знак плюс, и наоборот, если выпуклостью вверх то -  знак  минус (рис. 2.32).

 

Рис. 2.33. Правило знаков для поперечной силы

Считаем поперечную силу в  сечении положительной, если внешняя  нагрузка, приложенная к рассматриваемой  отсеченной части, стремится повернуть  данное сечение по часовой стрелке  и отрицательной – в противном случае.

Условие прочности при  изгибе по нормальному напряжению:

      (2.29)

- осевой момент сопротивления.

, [м³]      (2.30)

При решении трех задач  выполняется три вида расчетов:

• Проверка прочности балок по нормальным напряжениям (проверочный расчет).
• Подбор поперечного сечения балки (проектный расчет).
• Определение максимальной нагрузки на балку.

14. Напряженно деформированное состояние точки. Главные площадки и главные напряжения. Виды напряженных состояний.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.40. Сложное сопротивление

Рассмотрим вырезанный из тела элемент в виде прямоугольного параллелепипеда. На гранях возникают  нормальные и касательные напряжения. Оказывается, что через заданную точку напряженного тела всегда можно  провести три взаимно перпендикулярные плоскости, в которых касательные  напряжения: и возникают только нормальные напряжения              (рис. 2.40);

Площадки, на которых нет  касательных напряжений – это главные площадки, а нормальные напряжения – это главные напряжения.

Если  , то:

Такой случай называется простым, одноосным напряженным  состоянием (растяжение или сжатие).

15. Первая и вторая теории прочности.

Первая теория прочности

Теория наибольших нормальных напряжений

Она основывается на предположениях, что опасное состояние материала  наступает, когда какое – либо из главных напряжений достигает  опасного значения, следовательно, сложно – напряженное состояние равноопасно если , т.е. максимальное напряжение не превышает допускаемое.

-эквивалентное допускаемое напряжение; -допускаемое напряжение при растяжении.

=      (2.45)

Недостатки: она не учитывает  напряженность  и , подтверждает деформацию хрупких и не подтверждает деформацию пластичных материалов.

 

Вторая теория прочности

Теория наибольших линейных деформаций

Основывается на предположении, что материал не зависимо от вида напряженного состояния разрушается, тогда когда  наибольшее относительное удлинение  или укорочение, в каком-либо направлении  достигает такой величины, при  которой идет разрушение как при  простом растяжении – сжатии.

Условие прочности:

,      (2.46)

где -наибольшая относительная деформация; - допускаемая относительная деформация.

,      (2.47)

где - деформация, в направлении , переходя от деформации к напряжению (закон Гука) получим:

= = ,     (2.48)

.

Из уравнения видно, что  с допускаемым напряжением необходимо сравнивать комбинацию напряжений.

Вторая теория учитывает  влияния всех трех главных напряжений и опытами подтверждается деформация хрупких материалов.

17Что называется изгибом с кручением? Внутренние усилия при изгибе с кручением.

Рис. 2.43. Изгиб с кручением

Возьмем стальной брус круглого поперечного сечения, который нагружен двумя парами сил, таким образом, что плоскость действия первой перпендикулярна  оси бруса, а плоскость действия второй проходит через ось бруса (рис. 2.43). Тогда момент Т₁ первой пары скручивает брус, а момент Т₂ второй пары его изгибает. При таком нагружении бруса в его поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора – крутящий М_к и изгибающий М_и моменты, причем по всей длине бруса М_к= Т₁, а М_и= Т₂.

16. Третья и четвертая теории прочности. Пятая теория прочности Мора.

Третья теория прочности

Теория касательных напряжений

В качестве фактора определяющего  прочность материала принимается  величина наибольшего касательного напряжения. Предполагается, что предельное напряженное состояние наступит тогда, когда наибольшее касательное  напряжение достигнет опасного значения, соответствующего предельному состоянию  данного материала при растяжении.

,

где - допускаемое напряжение при растяжении.

.      (2.49)

В третьей теории прочности  подтверждается экспериментально деформация пластичных материалов.

Недостаток теории: она не учитывает главные напряжения , которые оказывают влияние на прочность материала. Третья теория прочности не применима для расчета деталей из хрупких материалов.

 

Четвертая теория прочности

Предельное (опасное) состояние  наступает в тот момент, когда  на некоторой площадке возникает  наиболее неблагоприятная комбинация касательных и нормальных напряжений.

Условие прочности имеет  вид:

,      (2.50)

где - коэффициент, равный отношению предельных напряжений при осевом растяжении и сжатии.

Для пластичных материалов =1.

Ее недостаток состоит  в том, что она не учитывает  влияния на прочность напряжения .

 

Пятая теория прочности Мора

Энергетическая теория формоизменения

В качестве критерия прочности  в данном случае принимается количество удельной потенциальной энергии  формоизменения, накопленных деформацией  элементов. Переход материала в  предельное состояние происходит, когда  величина удельной потенциальной энергии  формоизменения достигнет значения соответствующее предельному состоянию  данного материала.

      (2.51)

где -удельная потенциальная энергия формоизменения;

      -допускаемая потенциальная энергия формоизменения.

- для общего вида

,   (2.52)

Для случая кручения и изгиба:

.      (2.53)

 

17. Напряжения при изгибе с кручением. Условие прочности.

Выразим эквивалентные напряжения через касательные и нормальные напряжения в поперечном сечении  бруса по третьей и пятой теории:

; .             (2.54)

Арифметическое значение корней в числителях этих формул иногда называют эквивалентным моментом, и  обозначают М_э. Используя это обозначение, условие прочности запишем в таком виде:

.     (2.55)

При этом надо иметь в  виду, что при пространственном нагружении вала, например в вертикальной и  горизонтальной плоскостях, будут возникать  два изгибающих момента – М_х и М_у , тогда изгибающий момент М_и будет равен:

.     (2.56)