Теория вероятности и математическая статистика

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

         Факультет непрерывного обучения                           

        Специальность «Финансы и кредит»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

по дисциплине теория вероятности и математическая статистика

                                                Вариант 7

Студентки Бекмеметьева Е.А.        

                                                               Личное дело № 09ФФ941717

                                               Преподаватель Коропец А.А

Орел 2010 год

Задание 1

В студенческой группе 30 студентов: 20 девочек и 10 мальчиков. Случайным образом четверо из них направляются для прохождения практики в Сбербанк. Найти вероятность того, что среди них окажутся:

а) 2 девочки и 2 мальчика; б) хотя бы 2 девочки.

Решение

n= =27405           m= *= 190*45=8550                    р==0,312

Задание 2

Вероятность того, что за рабочий день расход электроэнергии не превысит нормы, равна 0,75. Требуется найти вероятность того, что за шесть дней работы норма будет превышена:

а) ровно 2 раза; б) хотя бы один раз.

Решение

Событие А – норма будет превышена;

событие Ā – норма не будет превышена.

Р(А) = 0,25 = р                  Р(Ā) = 0,75 = q                      n = 6

m =1            1- 1-1-0,178=0,822

m = 2;         0,252*0,754 =*0,252*0,754 = 180*0,0625*0,3164  =3,56

Задание 3

Вероятность сбоя при получении денег в банкомате равна 0,001. Найти вероятность того, что из 5000 обращений число сбоев будет:

а) ровно 5; б) не более 5.

Решение

Событие А – сбои при получении денег в банкомате произойдут; событие Ā – не произойдут.

                    Р(А) = 0,001 = р              Р(Ā) = 0,999 = q                     n = 5000

а) m = 5

Воспользуемся формулой Пуассона:                          λ = np = 5000 * 0,001 = 5

Вероятность того, что из 5000 обращений число сбоев будет равно 5, составит:

б) m <5

Вероятность того, что из 5000 обращений за денежными средствами в банкомат число сбоев будет не более 5, составит:

1-(Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)+Р(5))=1-(0,0067+0,0337+0,0842+0,1404+ 0,1755+0,1782) = 0,3813

Р(0)=         Р(1)= 0,0337             Р(2)= 0,0842

Р(3)= 0,1404          Р(4)= 0,1755              Р(4)= 0,1782

Ответ: а) 0,1782;    б) 0,3813.

Задание 4

Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета на балкон. Составить закон распределения числа билетов на балкон среди трех наудачу выбранных билетов. Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.

Решение

Среди 7 билетов:

3 на балкон

4 не на балкон

Наудачу берут 3 билета.

Событие Аi – i-тый билет – на балкон.  Случайная величина Х – число билетов в партер.

Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятности каждого из указанных событий.

Для решения используем классическую формулу вероятности:   

формулы числа сочетаний:

Сначала определим, сколькими способами можно взять 3 билета из 7:

(способов)

Количество способов, которыми можно взять все три билета не на балкон, составит:

(способ)

Вероятность того, что среди трех взятых билетов не будет ни одного на балкон, равна:

Количество способов, которыми можно взять один билет на балкон и два не на балкон:

(способов)

Вероятность того, что среди четырех взятых билетов будет один билет в партер, равна:

Количество способов, которыми можно взять два билета на балкон и один нет, составит:

(способов)

Вероятность того, что среди трех билетов будет два билета на балкон, равна:

Количество способов, которыми можно взять три билета на балкон, составит:

(способа)

Вероятность того, что среди трех  билетов будет три билета на балкон, равна:

Искомый закон распределения случайной величины Х примет вид:

Найдем функцию распределения:

                0,     при х ≤ 0

                0,114,   при 0 < х ≤ 1

F(x) =      0,114 + 0,514,   при 1 < х ≤ 2

                0,114 + 0,514+ 0,343,   при 2 < х ≤ 3

                0,114 + 0,514 + 0,343 + 0,0286,     при х  3

Функция распределения имеет вид:

                0,     при х ≤ 0

                0,114,   при 0 < х ≤ 1

F(x) =      0,628 ,   при 1 < х ≤ 2

                          0,971,   при 2 < х ≤ 3

                1,     при х  3

Построим график данной функции

Задание 5

Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) математическое ожидание и дисперсию;

в) вероятность

Решение

а) Найдем параметр а

б) математическое ожидание и дисперсию;

Для расчета математического ожидания воспользуемся формулой:

Для расчета дисперсии  воспользуемся формулой:

= 25/3=8.33

в) вычислим вероятность

       F(3)-F(0)= 0.6

Доработки.

Задание 2

Решение

Р(А) = 0,25 = р                  Р(Ā) = 0,75 = q                      n = 6

m 1            1- 1-1-0,178=0,822

m = 2;         0,252*0,754 =*0,252*0,754 = 15*0,0625*0,3164  =0.3

Задание 3

Решение

Событие А – сбои при получении денег в банкомате произойдут; событие Ā – не произойдут.

                    Р(А) = 0,001 = р              Р(Ā) = 0,999 = q                     n = 5000

а) m = 5

Воспользуемся формулой Пуассона:                          λ = np = 5000 * 0,001 = 5

Вероятность того, что из 5000 обращений число сбоев будет равно 5, составит:

б) m 5

Вероятность того, что из 5000 обращений за денежными средствами в банкомат число сбоев будет не более 5, составит:

(Р(0)+Р(1)+Р(2)+Р(3)+Р(4)+Р(5))=1-(0,0067+0,0337+0,0842+0,1404+ 0,1755+0,1782) = 0.6187

Р(0)=         Р(1)= 0,0337             Р(2)= 0,0842

Р(3)= 0,1404          Р(4)= 0,1755              Р(4)= 0,1782

Ответ: а) 0,1755;    б) 0,6187.

2