Эконометрическое моделирование

 

Шаг 4. Пакет анализа  Excel (программа «регрессия») 

Построение  регрессии, оценивание ее параметров и  их значимости выполнется значительно  быстрее при использовании пакета анализа Excel (программа «Регрессия»).

Рассмотрим  интерпретацию полученных результатов  в общем случае (m объясняющих переменных) по данным задачи.

I

 

В таблице  Регрессионная статистика приводятся значения:

1. Множественный R – коэффициент множественной корреляции R=.
2. R – квадрат – коэффициент детерминации R².
3. Нормированный R-квадрат – скорректированный R² с поправкой на число степеней свободы.
4. Стандартная ошибка – стандартная ошибка регрессии S.
5. Наблюдения – число наблюдений.

 

II

 
 

В таблице  дисперсионный анализ приведены:

1. Столбец df – число степеней свободы, равное:

df=m   для строки Регрессия;

df=n-m-1  для строки Остаток;

df=n-1  для строки Итого.

2. Столбец SS – сумма квадратов отклонений, равная:

(ŷ_i- y_ср)²  для строки Регрессия;

*(y-ŷ)²  для строки Остаток;

*(y_i-y_ср)²  для строки Итого.

3. Столбец MS – дисперсии, определяемые по формуле MS=SS/df:

• Факторная   для строки Регрессия;
• Остаточная для строки Остаток.

4. Столбец F – расчетное значение F-критерия, вычисляемое по формуле

F= MS (регрессия) /MS (остаток).

5. Столбец Значимость F – значение уровня значимости, соответствующее вычисленной F – статистики:

Значимость  F = FРАСП (F - статистика; df(регрессия); df(остаток)). 

III

 

В этой таблице указаны:

1. Коэффициенты – значения коэффициентов b₀, b₁, b₂.
2. Стандартная ошибка – стандартные ошибки коэффициентов регрессии S_b0, S_b1,  S_b2.
3. t – статистика – расчетные значения t-критерия, вычисляемые по формуле

t-статистика = Коэффициенты/ Стандартная ошибка.

4. Р-значение (значимость t) – это значения уровня значимости, соответствующее вычисленной t-статистике:

Р-значение = СТЬЮДРАСП (t-статистика; df(остаток)).

Если  Р-значение меньше стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.

5. Нижние 95% и Верхние 95% - нижние и верхние границы 95%-ных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии. 

 

IV

 

В таблице  Вывод остатка указаны:

1. Наблюдение – номер наблюдения.
2. Предсказанное y – расчетные значения зависимой переменной.
3. Остатки e – разница между наблюдаемыми и расчетными значениями зависимой переменной.

      Рисунок 2. График остатков 
 

Используя результаты работы пакета анализа Excel, проанализируем зависимость накоплений от дохода семьи, расходов на питания и стоимости имущества.

Результаты  регрессионного анализа запишем  в виде

      Ŷ= -6,635+0,596x₁+0,993x₂,   R²=0,646

            ^{(25,17)      (0,47)                (0,76)} 

(в скобках  указаны стандартные ошибки коэффициентов  регрессии).

Коэффициенты  регрессии b₀=-6,635, b₁=0,596 и b₂=0,993. Направление связи между y, x₁ и x₂ определяет знак коэффициентов регрессии b₁=0,596 и b₂=0,993, т.е. связи являются прямыми и положительными. Например, коэффициент b₁=0,596 показывает, что при увеличении доходов на 0,596 усл ед накопления увеличатся на 1 усл ед, а расходы на питание увеличатся на 0,993  усл ед.

Оценим  значимость коэффициентов полученной модели. Значимость коэффициентов (b₀, b₁, b₂, b₃) проверяется по t – тесту:

      Р – значение (b₀)= 0,799 > 0,05 > 0,01;

      Р – значение (b₁)= 0,244 > 0,05 > 0,01;

      Р – значение (b₂)= 0,235 > 0,05 > 0,01.

Следовательно, коэффициенты незначимы при 1% - ном  уровне, и тем более при 5% - ном  уровне значимости.

Результаты  оценивания регрессии совместимы с  их доверительным интервалом. С вероятностью 95% доверительные интервалы для  коэффициентов есть (-66,2 – 52,9) для  b₀, (-0,5 – 1,71) для b₁, (-0,8 – 2,8) для b₂.

Качество  модели оценивается коэффициентом  детерминации R². Величина R²=0,646 означает, что фактором накоплений можно объяснить 64,6% вариации (разброса) доходов. 

 

Шаг 5. Статистическая значимость коэффициентов 

Статистическая  значимость коэффициентов множественной  регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе t – статистики:

      t_j= ,

имеющий распределение Стьюдента с υ=n-m-1 степенями свободы.

Наблюдаемому (расчетному) значению критерия t соответствует определенная значимость t, которую вычисляем в Excel с помощью функции

      Значимость  t= СТЬЮДРАСП (t; υ; 2).

Доверительный интервал для величины β получим, решив неравенство

      b-t_крS_b < β < b+ t_крS_b

Оценим  значимость (используя данные предыдущего  шага) коэффициентов b₁=0,596, b₂=0,993 и построим доверительные интервалы при 5% - ном уровне значимости.

Наблюдаемые значения критериев

      t₁ = 1,27   t₂ = 1,3

      Значимость  t₁ = 1,27 > 0,05

      Значимость  t₂ = 1,3 > 0,05 

Отсюда  следует, что коэффициенты регрессии  незначимы.

При α = 0,05 критическое значение критерия t_кр= 2,36 определяем с помощью функции t_кр= СТЬЮДРАСПОБР (α; υ).

Доверительный интервал для β_i

0,596-2,36*0,47 < β₁ < 0,596+2,36*0,47 или -0,51 < β₁ < 1,71

0,993-2,36*0,76 < β₂ < 0,993+2,36*0,76 или -0,8 < β₂ < 2,79.

 

Шаг 6. Точечный и интервальный прогнозы результирующего  показателя

По данным о зависимости накоплений Y от доходов X₁ оценим накопления еще двух семей при доходах равных X_1,11=100 и X_1,12=108 усл ед. Найдем стандартную ошибку предсказания и 99% - ный доверительный интервал для полученной оценки.

      S_p = S

      ŷ_p-t_крS_p < ŷ_p < ŷ_p+t_крS_p

Исходные  данные