Эконометрическое моделирование

 
 
Используя компьютерную программу  получили оценочное уравнение регрессии

            ŷ=-6,64+0,59x₁+0,99x₂

      Вычисляем это уравнение и строим график

      График 1. Регрессионная модель 

 

ШАГ 3. Оценивание параметров 

1. Рассчитаем  S² – остаточную дисперсию

  

* путем вычислений примет вид:

 

      S²= 318,98

Величина  S называется стандартной ошибкой регрессии:

      S= .

      S=17,86

2. Анализ вариации зависимой переменной. Коэффициент детерминации

 

Пусть в уравнении регрессии содержится m объясняющих переменных. Допустим, что можно разложить дисперсию зависимой переменной на объясненную и необъясненную составляющие:

      var(Y)=var(ŷ) +var(e) .

Используя определение выборочной дисперсии  это уравнение представляем в  виде:

      *(y_i-y_ср)²=*(ŷ_i- y_ср)²+ *

Обозначим:

      TSS= (y_i-y_ср)² – общий разброс зависимой переменной;

      ESS= (ŷ_i- y_ср)² – разброс, объясненной переменной;

      USS= * - разброс необъясненной регрессией.

Тогда

      TSS=ESS+USS .

Коэффициент детерминации - есть доля объясненной переменной части разброса зависимой переменной, т.е.

      R²=

 

Отсюда  R²=0,646.

Величина  R² является мерой объясняющего качества уравнения регрессии по сравнению с горизонтальной линией ŷ_i=y_ср.

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 65% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием включенных факторов.

Поскольку коэффициент R² измеряет долю дисперсии, совместно объясненной зависимыми переменными, то, казалось бы можно определить отдельный вклад каждой независимой переменной и таким образом получить меру ее относительной важности. Однако такое разложение невозможно, если независимые переменные коррелированны, поскольку в этом случае их объясняющие способности будут перекрываться.

С увеличением  объясненной части разброса ESS коэффициент R² стремится к 1. Кроме того, с добавлением еще одной переменной R² обычно увеличивается.

Для компенсации  такого увеличения R² вводим скорректированный коэффициент детерминации с поправкой на число степеней свободы:

      R²=1-

           R²=0,544

Если  увеличение доли объясненной регрессии  при добавлении новой переменной мало, то скорректированный коэффициент  детерминации может уменьшиться, следовательно, добавлять переменную нецелесообразно.

3. F – тест на качество оценивания.

Для определения  статистической значимости коэффициента детерминации R² проверяем гипотезу H₀:F=0 для F – статистики:

      F=

      F=6,38

Величина  F имеет распределение Фишера с υ₁=2, υ₂=n-3.

Проверку  значимости R² можно выполнить двумя способами.

1. Критическое значение F_кр при заданных α=0,05; υ₁=2; υ₂=7 определяем по таблице F – распределения Фишера или в Excel с помощью функции

      F_кр=4,73

Из сравнения  наблюдаемого значения F с критическим получаем:

      F> F_кр , значит H₀ отвергается, т.е. R²=0,498 значим при 5%-ном уровне, уравнение регрессии следует признать адекватным.

2. Наблюдаемому (расчетному) значению критерия F соответствует определенная значимость F, которую вычисляем в Excel с помощью функции

      Значимость  F=0,003

Поскольку значимость F<0,05, то R² значим при 5%-ном уровне.

Чаще  всего F – тест используется для оценки того, значимо ли объяснение, даваемое уравнением в целом. 

4. Коэффициент эластичности

Различия  в единицах измерения факторов устраняют  с помощью частных коэффициентов  эластичности. Рассчитываем по формуле:

      Э_i= b_i

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Э₁=0,46;   Э₂=0,63 

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько % в среднем изменяется зависимая переменная с изменением на 1% каждого фактора при фиксированном  значении других факторов.

5. Средняя ошибка аппроксимации

Оценку  качества построенной модели дает не только коэффициент детерминации, но и средняя ошибка аппроксимации.

Ср. ошибка аппроксимации  – среднее отклонение расчетных значений зависимой переменной от фактических.

      

 

      А=9,1%

Допустимый  предел значений не более 8 – 10 %. 

6. Расчет  β – коэффициентов

β_i = b_i*S_Xi/S_y

β₁= 0,01

β₂=0,03.

Бета  – коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую  часть величины среднего квадратичного  отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратичное отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных  независимых переменных. Это означает, что при увеличении дохода на 0,469 усл ед накопления увеличатся на 11,7 усл ед.