Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал  в г. Барнауле 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Вариант 3 
 
 
 
 

      Студентка      Сергеева Юлия Алексеевна

 

      Специальность      Финансы и кредит

      № личного дела      06ффб00743 

      Образование       Первое высшее 

      Группа       4ФКп-2

      Дисциплина        Финансовая математика

      Преподаватель                Свердлов Михаил Юрьевич

                                       
 
 
 
 

Барнаул 2009

 

ЗАДАЧА  №1

      В каждом варианте приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).   

      Требуется:     

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного  фактора, приняв параметры сглаживания a(a)=0,3; a(b)=0,6; a(F)=0,3.

2. Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.     

3. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков; 

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37)

      и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении  r кр =0,32.

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.    

4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год. 

5. Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение.

1. Построим модель Хольта – Уинтерса.

    Основная  формула модели имеет вид

    Yp (t+k) = [ a(t) + k * b (t) ] * F (t+k – L), где

    t – текущий момент времени;

    k – шаг упреждения;

    Yp (t+k) – расчетное прогнозное значение Y;

    a(t), b(t) – коэффициенты модели, требующие уточнения для каждого момента времени;

    L – период сезонности, соответствующего периода прошлого года;

    F( t+k – L) – коэффициент сезонности, соответствующего периода прошлого года.

     

    По  исходным данным построим график.

     

    Описание: График показывает тренд к увеличению цен и наличия сезонных колебаний. Следовательно, применение модели Хольта – Уинтерса эффективно.

    а) выполним предварительный расчет, относящийся к предыдущему году.

      Построим вспомогательную линейную  модель 

    Yвспом (t) = a+b * t

      Коэффициенты а и b определим через функцию «ЛИНЕЙН», получим:

     

 Для расчетов достаточно использовать первые восемь данных.

Используем  найденные значения в качестве нулевых  коэффициентов модели Хольта.

a(0) = 35,07;

b(0) = 0,93.

Для расчета  коэффициентов сезонности прошлого года рассмотрим коэффициент сезонности для первого и второго года. Для этого рассчитаем Yвспом (t):

Yвспом (t) = 35,07 + 0,93 * t , для t = 1 ÷ 8  и  сопоставим с исходными данными.

 В  качестве коэффициентов сезонности  для 1 квартала предыдущего года возьмем средний арифметический коэффициент для 1 квартала первого и второго годов.

F(-3) = [ Y(1) /Y вспом (1) + Y(5)/ Y вспом (5)]/ 2 = 0,86

Аналогично  определяем остальные коэффициенты сезонности:

F (-2) = 1,08;

F (-1) = 1,27;

F (0) = 0,79.

б) перейдем к построению собственно модели Хольта.

 

Выполним основной расчет по формулам Хольта для t = 0 ÷ 16;

t = 0, k = 1 по основной формуле найдем

Yp(1) = [a(0) + 1*b(0)] * F(-3) = 30,91.

t = 1 и уточним коэффициенты по условию:

α a =0,3; α b = 0,6; α F = 0,3.

а (1) = 0,3 * Y1/F(-3) + 0,7 [a(0) + b(0)] = 36,03;

b (1) = 0,6 * [ a(1) – a(0) ] * 0,4 * b(0) = 0,94;

F (1) = 0,3 * Y(1)/a(1) + 0,7 * F(-3) = 0,86;

Те же формулы применяются для остальных  строк включительно. 

2. Прогнозирование  по модели Хольта  – Уинтерса.

Она имеет  смысл, если построенная модель адекватна и точна. По адекватной модели можно рассчитать точечные прогнозные оценки. Прогнозирование выполняется по основной формуле модели:

Yp (t+k) = [a(t) + k* b(t) ] * F (t + k – L)

В ней  считают t = k(16) – неизменной, k – увеличивающейся.

Для расчетов используются коэффициенты: a(16), b(16), F(12 + k);

Yp(17) = [ a(16) + 1 * b(16)] * F(13) = 44,79;

Yp (18) = [a(16) + 2 * b(16)] * F(14) = 56,38;

Yp(19) = [ a(16) + 3 * b(16)] * F(15) = 67,26;

Yp(20) = [ a(16) + 4 * b(16)] * F(16) = 42,03.

График исходных данных, результатов моделирования и прогнозирования:

 

3.Оценка  качества временного  ряда. 

Построенную модель можно использовать для прогнозирования, если она достаточно точна и адекватна.

Оценка точности модели.

Данная  оценка проводится на основе расчета средней относительной погрешности. Требуется для каждого уровня исходных данных рассчитать остатки

E(t) = Y(t) – Yp(t)

и относительные  погрешности

Eотн (t) = | E(t) / Y(t)| * 100 (%) 

 

Так как  ср.отн.погр. = 1,53 < 5%, то модель точная. 

Для проверки адекватности требуется проверить три свойства:

1. Свойство случайности остатков (Е (t)).

Для этого используем критерий поворотных точек. С помощью мастера диаграмм построим график остатков. 
 
 

 График остатков:

Всего р = 9

Определим Ркр по формуле, n = 16.

Pкр = 6,22 ≈ 6

Р = 9 > P = 6. Следовательно, свойство случайности остатков выполняется.

2. Свойство независимости остатков.

Для проверки используется критерий Дарбина  – Уотсона.

По  столбцу остатков определим знаменатель  дроби. Определяем через функцию  « СУММКВ»  

     Числитель определим – «СУММКВРАЗН»

     Следовательно,

     Т. к. d входит в промежуток (2;4), то надо сделать дополнительные расчеты по формуле

     d` = 4 – d;

     d` = 4 – 2,65 = 1,35;

     Критические уровни заданы:

     d1= 1,10 и d2 = 1,37, отсюда получим, что

     1,10< 1,35 < 1,37 , следовательно, свойство независимости остатков не выполняются. Сделаем дополнительную проверку.

     Дополнительную  проверку проведем с помощью первого  коэффициента автокорреляции. Определим  его по формуле.

     Определим знаменатель дроби через функцию  «СУММКВ»

     Определим числитель дроби через функцию  «СУММПРОИЗВ»